Giải chi tiết Câu 4. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm $A(-2;1;5),~B(1;-3;2),~C(4;3;1)$,a) Biết $\cos\widehat{BAC}=(\frac m{\sqrt n})$ với $m\in\mathbb Z;n\in\mathbb N^*$ và $\frac mn$ tối giản. Thì $m+n=10~S$,b) Với $M(-1;2;0)$ thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow0~S$,c) biết $M(x;y;z)$ để tứ giác ABCM là hình bình hành. Thì tổng $x+y+z=25~S$,d) Toạ độ điểm E đối xứng với A qua B là $(-6;2;1).$

Question

Accepted Answer

Câu 4.
a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;-4;-3),~\overrightarrow{AC}=(6;2;-4)$
$\Rightarrow \cos\widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}=\frac{3	imes 6-4	imes 2+(-3)	imes (-4)}{\sqrt{3^2+(-4)^2+(-3)^2}	imes \sqrt{6^2+2^2+(-4)^2}}=\frac{26}{\sqrt{100	imes 56}}=\frac{13}{10\sqrt{14}}=\frac{13\sqrt{14}}{140}$
$\Rightarrow m=13,~n=140\Rightarrow m+n=153$
b) Ta có $\overrightarrow{MA}=(-1;1;5),~\overrightarrow{MB}=(2;-5;2),~\overrightarrow{MC}=(5;1;1)$
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=(-1;1;5)+(2;-5;2)+2(5;1;1)=(11;-2;8)
eq \overrightarrow{0}$
c) Tứ giác ABCM là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CM}$
$\Rightarrow (3;-4;-3)=(x-4;y-3;z-1)\Rightarrow x=7,y=-1,z=-2$
$\Rightarrow x+y+z=4$
d) E đối xứng với A qua B thì B là trung điểm AE
$\Rightarrow 2B=A+E\Rightarrow E=(2B-A)=((2	imes 1)-(-2);(2	imes -3)-(1);(2	imes 2)-5)=(4;-7;-1)$