<p>Phần câu trắc nghiệm đúng sai ạ</p>

Câu 29. a) Hình chiếu của A trên mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là $(3;0;4).$ b) Ta tính độ dài các cạnh của tam giác ABC: - $AB = \sqrt{(3-2)^2 + (-1-0)^2 + (4+1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 25} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ - $BC = \sqrt{(2-1)^2 + (0+2)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ - $CA = \sqrt{(1-3)^2 + (-2+1)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21}$ So sánh các độ dài cạnh: - $3\sqrt{3} > \sqrt{21} > \sqrt{6}$ Vậy cạnh có độ dài nhỏ nhất là cạnh BC. c) Diện tích tam giác ABC: Ta sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác ABC: - $s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{21}}{2}$ - Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - CA)} \] Tuy nhiên, ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác thông qua tích vector: \[ \overrightarrow{AB} = (-1, 1, -5) \] \[ \overrightarrow{AC} = (-2, -1, -4) \] Tích vector: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & -5 \\ -2 & -1 & -4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-4) - (-5) \cdot (-1)) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-4) - (-5) \cdot (-2)) + \mathbf{k}((-1) \cdot (-1) - 1 \cdot (-2)) \] \[ = \mathbf{i}(-4 - 5) - \mathbf{j}(4 - 10) + \mathbf{k}(1 + 2) \] \[ = -9\mathbf{i} + 6\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \] Độ dài của tích vector: \[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-9)^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{81 + 36 + 9} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14} \] Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{14} = \frac{3\sqrt{14}}{2} \] d) Gọi $N(a, b, c)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$: - $\overrightarrow{NA} = (3-a, -1-b, 4-c)$ - $\overrightarrow{NB} = (2-a, -b, -1-c)$ - $\overrightarrow{AC} = (-2, -1, -4)$ Thay vào phương trình: \[ (3-a, -1-b, 4-c) - 2(2-a, -b, -1-c) + (-2, -1, -4) = (0, 0, 0) \] \[ (3-a, -1-b, 4-c) - (4-2a, -2b, -2-2c) + (-2, -1, -4) = (0, 0, 0) \] \[ (3-a-4+2a-2, -1-b+2b-1, 4-c+2+2c-4) = (0, 0, 0) \] \[ (a-3, b-2, c+2) = (0, 0, 0) \] Suy ra: \[ a = 3, b = 2, c = -2 \] Vậy $a + b + c = 3 + 2 - 2 = 3$, là số nguyên tố. Đáp án đúng là: d) Gọi $N(a, b, c)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$. Khi đó $a + b + c$ là một số nguyên tố. Câu 30. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: a) Tập xác định của hàm số: Hàm số được cho là \( f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1} \). Tập xác định của hàm số là tất cả các giá trị \( x \) sao cho mẫu số không bằng 0: \[ x - 1 \neq 0 \] \[ x \neq 1 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] b) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: Ta thực hiện phép chia đa thức để tìm tiệm cận xiên: \[ f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1} \] Thực hiện phép chia: \[ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)(x - 1) \] \[ \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1} = x - 1 \] Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng: \[ y = x - 1 \] c) Hàm số nghịch biến trên tập xác định: Để kiểm tra tính chất tăng giảm của hàm số, ta tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \left( \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{(x^2 - 2x + 1)'(x - 1) - (x^2 - 2x + 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 1)}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - x^2 + 2x - 1}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = 1 \] Vì đạo hàm \( f'(x) = 1 \) luôn dương trên tập xác định \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \), nên hàm số là hàm số đồng biến trên tập xác định. d) Hàm số có hai điểm cực trị là A, B. Khoảng cách từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng AB là \(\frac{1}{\sqrt{5}}\). Để tìm hai điểm cực trị, ta cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Tuy nhiên, đạo hàm \( f'(x) = 1 \) luôn dương và không bằng 0, do đó hàm số không có điểm cực trị. Do đó, phần này có thể là một lỗi trong đề bài hoặc cần thêm thông tin chi tiết hơn về hàm số để xác định các điểm cực trị. Kết luận: - Tập xác định của hàm số: \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \) - Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: \( y = x - 1 \) - Hàm số đồng biến trên tập xác định. - Phần về hai điểm cực trị và khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng AB cần thêm thông tin chi tiết hơn để xác định chính xác.