giúp mình với

Câu 1 a) Chứng minh: $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MQ}$ Ta có: \[ \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NQ} = (\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}) + \overrightarrow{NQ} \] \[ = \overrightarrow{MN} + (\overrightarrow{NP} + \overrightarrow{NQ}) \] \[ = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MQ} \] \[ = \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{MQ} \] b) Cho tam giác ABC vuông tại B, biết $AC = a\sqrt{5}, BC = a$. Tính độ dài của $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}$. Trước tiên, ta nhận thấy rằng $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BA}$. Do tam giác ABC vuông tại B, theo định lý Pythagoras, ta có: \[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \] \[ AB^2 + a^2 = (a\sqrt{5})^2 \] \[ AB^2 + a^2 = 5a^2 \] \[ AB^2 = 4a^2 \] \[ AB = 2a \] Vậy độ dài của $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}$ là $2a$. Đáp số: $2a$ Câu 2 Trước tiên, ta vẽ hình và đánh dấu các thông tin đã cho: - Tháp có chiều cao \( CD = h \). - Điểm \( C \) là chân tháp. - Điểm \( A \) và \( B \) nằm trên mặt đất sao cho ba điểm \( A \), \( B \), \( C \) thẳng hàng. - Đo được \( AB = 24 \, m \), \( \widehat{CAD} = 63^\circ \), \( \widehat{CBD} = 48^\circ \). Ta sẽ sử dụng định lý sin trong tam giác \( CAD \) và \( CBD \) để tính chiều cao \( h \). Trong tam giác \( CAD \): \[ \frac{h}{\sin(63^\circ)} = \frac{AC}{\sin(\widehat{ADC})} \] Trong tam giác \( CBD \): \[ \frac{h}{\sin(48^\circ)} = \frac{BC}{\sin(\widehat{BDC})} \] Vì \( \widehat{ADC} + \widehat{BDC} = 180^\circ \) (do \( D \) nằm trên đường thẳng đứng từ \( C \)), ta có: \[ \sin(\widehat{ADC}) = \sin(\widehat{BDC}) \] Do đó, ta có thể viết: \[ \frac{h}{\sin(63^\circ)} = \frac{AC}{\sin(\widehat{ADC})} \] \[ \frac{h}{\sin(48^\circ)} = \frac{BC}{\sin(\widehat{ADC})} \] Từ đây, ta có: \[ \frac{h}{\sin(63^\circ)} = \frac{AC}{\sin(\widehat{ADC})} \] \[ \frac{h}{\sin(48^\circ)} = \frac{BC}{\sin(\widehat{ADC})} \] Nhân cả hai vế của mỗi phương trình với \( \sin(\widehat{ADC}) \): \[ h = AC \cdot \sin(63^\circ) \] \[ h = BC \cdot \sin(48^\circ) \] Vì \( AC + BC = AB = 24 \, m \), ta có: \[ AC = x \] \[ BC = 24 - x \] Thay vào các phương trình trên: \[ h = x \cdot \sin(63^\circ) \] \[ h = (24 - x) \cdot \sin(48^\circ) \] Bằng cách đặt hai biểu thức này bằng nhau: \[ x \cdot \sin(63^\circ) = (24 - x) \cdot \sin(48^\circ) \] Giải phương trình này để tìm \( x \): \[ x \cdot \sin(63^\circ) = 24 \cdot \sin(48^\circ) - x \cdot \sin(48^\circ) \] \[ x \cdot (\sin(63^\circ) + \sin(48^\circ)) = 24 \cdot \sin(48^\circ) \] \[ x = \frac{24 \cdot \sin(48^\circ)}{\sin(63^\circ) + \sin(48^\circ)} \] Sau khi tìm được \( x \), ta thay vào một trong hai biểu thức ban đầu để tính \( h \): \[ h = x \cdot \sin(63^\circ) \] Vậy chiều cao \( h \) của khối tháp là: \[ h = \left( \frac{24 \cdot \sin(48^\circ)}{\sin(63^\circ) + \sin(48^\circ)} \right) \cdot \sin(63^\circ) \] Để tính cụ thể, ta sử dụng giá trị của các hàm sin: \[ \sin(63^\circ) \approx 0,891 \] \[ \sin(48^\circ) \approx 0,743 \] Thay vào: \[ x = \frac{24 \cdot 0,743}{0,891 + 0,743} \approx \frac{17,832}{1,634} \approx 10,91 \] \[ h = 10,91 \cdot 0,891 \approx 9,72 \] Vậy chiều cao của khối tháp là khoảng 9,72 mét. Câu 3. a) Mẫu số liệu thống kê giá vàng bán ra nhận được từ biểu đồ ở Hình 4 là: \[ 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61 \] b) Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: \[ \bar{x} = \frac{55 + 56 + 57 + 58 + 59 + 60 + 61}{7} = \frac{406}{7} = 58 \] Bước 2: Tính phương sai của mẫu số liệu: Phương sai \( s^2 \) được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1} \] Trong đó, \( n = 7 \) là số lượng giá trị trong mẫu số liệu. Ta tính các giá trị \( (x_i - \bar{x})^2 \): \[ (55 - 58)^2 = (-3)^2 = 9 \] \[ (56 - 58)^2 = (-2)^2 = 4 \] \[ (57 - 58)^2 = (-1)^2 = 1 \] \[ (58 - 58)^2 = 0^2 = 0 \] \[ (59 - 58)^2 = 1^2 = 1 \] \[ (60 - 58)^2 = 2^2 = 4 \] \[ (61 - 58)^2 = 3^2 = 9 \] Tổng các giá trị này là: \[ 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 28 \] Phương sai \( s^2 \) là: \[ s^2 = \frac{28}{7-1} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} \approx 4.67 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn \( s \): \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{14}{3}} \approx \sqrt{4.67} \approx 2.16 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là khoảng 2.16. Câu 4 Để tìm tọa độ điểm \( H \) sao cho tam giác \( ABH \) vuông cân tại \( H \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = (2 - (-1); 2 - 3) = (3; -1) \] 2. Tìm hai vectơ \( \overrightarrow{u_1} \) và \( \overrightarrow{u_2} \) vuông góc và cùng độ dài với \( \overrightarrow{AB} \): - Vectơ \( \overrightarrow{u_1} \) vuông góc với \( \overrightarrow{AB} \) và cùng độ dài: \[ \overrightarrow{u_1} = (1; 3) \] - Vectơ \( \overrightarrow{u_2} \) cũng vuông góc với \( \overrightarrow{AB} \) và cùng độ dài: \[ \overrightarrow{u_2} = (-1; -3) \] 3. Tìm tọa độ điểm \( H \): - Điểm \( H \) có thể nằm ở hai vị trí khác nhau, tương ứng với hai vectơ \( \overrightarrow{u_1} \) và \( \overrightarrow{u_2} \). Với \( \overrightarrow{u_1} = (1; 3) \): \[ \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{u_1} \Rightarrow H = A + \overrightarrow{u_1} = (-1; 3) + (1; 3) = (0; 6) \] Với \( \overrightarrow{u_2} = (-1; -3) \): \[ \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{u_2} \Rightarrow H = A + \overrightarrow{u_2} = (-1; 3) + (-1; -3) = (-2; 0) \] Vậy, tọa độ điểm \( H \) để tam giác \( ABH \) vuông cân tại \( H \) là: \[ H = (0; 6) \text{ hoặc } H = (-2; 0) \]