Bài 39: Cho phương trình x ^ 2 - x + m + 1 = 0 (m là tham số). Gọi I là hai nghiệm phân biệt của phương trình, tìm các giá trị của sao cho x_{i} ^ 2 + x_{i}*x_{1} + 3x_{1} = 7

Bài 39: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: Phương trình \( x^2 - x + m + 1 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: \[ \Delta > 0 \] Trong đó, \(\Delta\) là biệt thức của phương trình bậc hai: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Với \(a = 1\), \(b = -1\), và \(c = m + 1\): \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 1) = 1 - 4(m + 1) = 1 - 4m - 4 = -4m - 3 \] Để phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ -4m - 3 > 0 \implies -4m > 3 \implies m < -\frac{3}{4} \] 2. Áp dụng hệ thức Viète: Giả sử hai nghiệm của phương trình là \(x_1\) và \(x_2\). Theo hệ thức Viète: \[ x_1 + x_2 = 1 \] \[ x_1 \cdot x_2 = m + 1 \] 3. Thay vào điều kiện \(x_i^2 + x_i \cdot x_1 + 3x_1 = 7\): Ta có: \[ x_1^2 + x_1 \cdot x_2 + 3x_1 = 7 \] Thay \(x_1 + x_2 = 1\) và \(x_1 \cdot x_2 = m + 1\) vào: \[ x_1^2 + x_1 \cdot (1 - x_1) + 3x_1 = 7 \] \[ x_1^2 + x_1 - x_1^2 + 3x_1 = 7 \] \[ 4x_1 = 7 \implies x_1 = \frac{7}{4} \] 4. Tìm \(x_2\): \[ x_2 = 1 - x_1 = 1 - \frac{7}{4} = -\frac{3}{4} \] 5. Tìm \(m\): \[ x_1 \cdot x_2 = m + 1 \] \[ \left( \frac{7}{4} \right) \left( -\frac{3}{4} \right) = m + 1 \] \[ -\frac{21}{16} = m + 1 \implies m = -\frac{21}{16} - 1 = -\frac{21}{16} - \frac{16}{16} = -\frac{37}{16} \] 6. Kiểm tra điều kiện \(m < -\frac{3}{4}\): \[ -\frac{37}{16} < -\frac{3}{4} \quad (\text{đúng}) \] Vậy giá trị của \(m\) thỏa mãn điều kiện là: \[ m = -\frac{37}{16} \]