giúp mk vssss

Câu 7. a) Ta có: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] Do đó, mệnh đề này đúng. b) Ta có: \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] Do đó, mệnh đề này sai vì \( |\overrightarrow{b}| = \sqrt{5} \neq \sqrt{3} \). c) Ta có: \[ |\overrightarrow{c}| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \] Do đó, mệnh đề này sai vì \( |\overrightarrow{c}| = 2\sqrt{13} \neq \sqrt{13} \). d) Vectơ \(\overrightarrow{d}\) cùng phương với \(\overrightarrow{a}\) và có độ dài bằng \(\frac{\sqrt{13}}{2}\) có tọa độ \((1; \frac{3}{2})\) hoặc \((-1; -\frac{3}{2})\). Ta kiểm tra: - Nếu \(\overrightarrow{d} = k \cdot \overrightarrow{a}\), ta có: \[ |\overrightarrow{d}| = |k| \cdot |\overrightarrow{a}| = |k| \cdot \sqrt{13} = \frac{\sqrt{13}}{2} \] Suy ra: \[ |k| = \frac{1}{2} \] Do đó, \( k = \frac{1}{2} \) hoặc \( k = -\frac{1}{2} \). - Với \( k = \frac{1}{2} \): \[ \overrightarrow{d} = \left( \frac{1}{2} \cdot 2, \frac{1}{2} \cdot 3 \right) = (1, \frac{3}{2}) \] - Với \( k = -\frac{1}{2} \): \[ \overrightarrow{d} = \left( -\frac{1}{2} \cdot 2, -\frac{1}{2} \cdot 3 \right) = (-1, -\frac{3}{2}) \] Do đó, mệnh đề này đúng. Tóm lại: - Mệnh đề a) Đúng. - Mệnh đề b) Sai. - Mệnh đề c) Sai. - Mệnh đề d) Đúng. Câu 8. Để giải quyết các mệnh đề, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các tính chất và công thức liên quan đến tam giác trong mặt phẳng tọa độ. Mệnh đề a: AC = 8 Ta tính khoảng cách giữa hai điểm A và C: \[ AC = \sqrt{(8\sqrt{3} - 4\sqrt{3})^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8 \] Vậy mệnh đề a là Đúng. Mệnh đề b: Tam giác ABC cân tại B Ta tính khoảng cách giữa các đỉnh của tam giác: \[ AB = \sqrt{(0 - 4\sqrt{3})^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8 \] \[ BC = \sqrt{(8\sqrt{3} - 0)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{(8\sqrt{3})^2 + 0} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \] Vì \(AB = AC = 8\) nên tam giác ABC cân tại B. Vậy mệnh đề b là Đúng. Mệnh đề c: \( S_{\Delta ABC} = 16\sqrt{3} \) Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức: \[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times \text{Chiều cao từ B xuống AC} \] Chiều cao từ B xuống AC là khoảng cách từ B đến đường thẳng đi qua A và C. Ta thấy rằng B nằm trên đường thẳng y = 3, và AC nằm trên đường thẳng y = 3, do đó chiều cao từ B xuống AC là 4 (khoảng cách từ y = 3 đến y = -1). \[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \] Vậy mệnh đề c là Sai. Mệnh đề d: \( \widehat{ABC} = 30^\circ \) Ta tính góc \( \widehat{ABC} \) bằng cách sử dụng công thức cosin: \[ \cos(\widehat{ABC}) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \] Thay các giá trị đã tính: \[ \cos(\widehat{ABC}) = \frac{8^2 + (8\sqrt{3})^2 - 8^2}{2 \cdot 8 \cdot 8\sqrt{3}} = \frac{64 + 192 - 64}{2 \cdot 8 \cdot 8\sqrt{3}} = \frac{192}{128\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó: \[ \widehat{ABC} = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ \] Vậy mệnh đề d là Đúng. Kết luận: - Mệnh đề a: Đúng - Mệnh đề b: Đúng - Mệnh đề c: Sai - Mệnh đề d: Đúng Câu 9. a) Ta có $\overrightarrow{AB} = (5 - 4, 1 - 6) = (1, -5)$. Vậy mệnh đề này là Đúng. b) Gọi D(a, 0) là điểm thuộc Ox cách đều hai điểm A và B. Ta có: \[ DA = DB \] \[ \sqrt{(a - 4)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{(a - 5)^2 + (0 - 1)^2} \] \[ (a - 4)^2 + 36 = (a - 5)^2 + 1 \] \[ a^2 - 8a + 16 + 36 = a^2 - 10a + 25 + 1 \] \[ -8a + 52 = -10a + 26 \] \[ 2a = -26 \] \[ a = 13 \] Vậy mệnh đề này là Đúng. c) Ta cần kiểm tra xem điểm $I(-\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$ có là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay không. Ta tính khoảng cách từ I đến các đỉnh A, B, C: \[ IA = \sqrt{\left(4 + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(6 - \frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{49}{4}} = \sqrt{\frac{130}{4}} = \frac{\sqrt{130}}{2} \] \[ IB = \sqrt{\left(5 + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{11}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{121}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{130}{4}} = \frac{\sqrt{130}}{2} \] \[ IC = \sqrt{\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(-3 - \frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{11}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{121}{4}} = \sqrt{\frac{130}{4}} = \frac{\sqrt{130}}{2} \] Vì IA = IB = IC, nên điểm $I(-\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy mệnh đề này là Đúng. d) Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là khoảng cách từ tâm I đến bất kỳ đỉnh nào của tam giác ABC. Ta đã tính ở trên: \[ R = IA = IB = IC = \frac{\sqrt{130}}{2} \] Vậy mệnh đề này là Sai vì bán kính R không bằng $\frac{\sqrt{13}}{2}$ mà bằng $\frac{\sqrt{130}}{2}$. Đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 10. a) Ta có $\overrightarrow{AB} = (8 - 7, 4 + 3) = (1, 7)$ và $\overrightarrow{AC} = (1 - 7, 5 + 3) = (-6, 8)$. Do đó, mệnh đề này đúng. b) Để kiểm tra xem ba điểm A, B, C có tạo thành một tam giác hay không, ta cần kiểm tra xem chúng có thẳng hàng hay không. Ta tính vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ đã biết: $\overrightarrow{AB} = (1, 7)$ và $\overrightarrow{AC} = (-6, 8)$. Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương vì $\frac{1}{-6} \neq \frac{7}{8}$. Do đó, ba điểm A, B, C không thẳng hàng và tạo thành một tam giác. Do đó, mệnh đề này đúng. c) Ta cần kiểm tra xem điểm K(8, 4) có là chân đường cao kẻ từ A đến BC hay không. Ta tính vectơ $\overrightarrow{AK}$ và $\overrightarrow{BC}$: $\overrightarrow{AK} = (8 - 7, 4 + 3) = (1, 7)$ và $\overrightarrow{BC} = (1 - 8, 5 - 4) = (-7, 1)$. Ta thấy rằng $\overrightarrow{AK}$ và $\overrightarrow{BC}$ vuông góc với nhau vì $\overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{BC} = 1 \times (-7) + 7 \times 1 = -7 + 7 = 0$. Do đó, điểm K(8, 4) là chân đường cao kẻ từ A đến BC. Do đó, mệnh đề này đúng. d) Ta cần kiểm tra xem bốn điểm A, B, C, D có tạo thành một hình vuông hay không. Ta tính khoảng cách giữa các cặp điểm: $AB = \sqrt{(8 - 7)^2 + (4 + 3)^2} = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, $BC = \sqrt{(1 - 8)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, $CD = \sqrt{(0 - 1)^2 + (-2 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, $DA = \sqrt{(7 - 0)^2 + (-3 + 2)^2} = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Ta thấy rằng tất cả các cạnh đều có độ dài bằng nhau là $5\sqrt{2}$. Tiếp theo, ta kiểm tra góc vuông bằng cách tính vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$: $\overrightarrow{AB} = (1, 7)$ và $\overrightarrow{AD} = (-7, -1)$. Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ vuông góc với nhau vì $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 1 \times (-7) + 7 \times (-1) = -7 - 7 = -14 \neq 0$. Do đó, bốn điểm A, B, C, D không tạo thành một hình vuông. Do đó, mệnh đề này sai. Đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai