Hhhhhhhhht

Câu 1: a. Ta có: \[ \overrightarrow{BA} = A - B = (1 - 0, 4 - (-1)) = (1, 5) \] \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (2 - 0, 3 - (-1)) = (2, 4) \] Do đó: \[ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = (1 + 2, 5 + 4) = (3, 9) \] b. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: \[ M = \left( \frac{-2 + 0}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{8}{2} \right) = (-1, 4) \] c. Để tứ giác BCAD là hình bình hành, ta cần: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \] Ta tính: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - (-2), 1 - 0) = (4, 1) \] Gọi tọa độ của điểm D là $(x, y)$, ta có: \[ \overrightarrow{DC} = C - D = (-5 - x, 3 - y) \] Để $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, ta cần: \[ (4, 1) = (-5 - x, 3 - y) \] Suy ra: \[ -5 - x = 4 \Rightarrow x = -9 \] \[ 3 - y = 1 \Rightarrow y = 2 \] Vậy tọa độ của điểm D là $(-9, 2)$. Câu 2: a) Ta có: \[ \widehat{A} = 180^\circ - \widehat{B} - \widehat{C} = 180^\circ - 15^\circ - 30^\circ = 135^\circ \] Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Từ đó ta có: \[ \frac{a}{\sin 135^\circ} = \frac{b}{\sin 15^\circ} = \frac{2}{\sin 30^\circ} \] Biết rằng: \[ \sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 \] \[ a = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \] Tương tự: \[ \frac{b}{\sin 15^\circ} = 4 \] \[ b = 4 \times \sin 15^\circ \] Ta biết rằng: \[ \sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \] \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] Do đó: \[ b = 4 \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \sqrt{6} - \sqrt{2} \] b) Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2}bc \sin A \] \[ = \frac{1}{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2 \cdot \sin 135^\circ \] \[ = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ = \frac{\sqrt{12} - \sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{2} = \sqrt{3} - 1 \] Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: \[ R = \frac{a}{2 \sin A} \] \[ = \frac{2\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = 2 \] Đáp số: \[ a = 2\sqrt{2}, \quad b = \sqrt{6} - \sqrt{2}, \quad S_{ABC} = \sqrt{3} - 1, \quad R = 2 \] Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ Venn để minh họa và tính toán số học sinh theo yêu cầu. 1. Tìm số học sinh chỉ biết đá cầu: - Số học sinh biết chơi đá cầu là 25 em. - Trong đó, có 15 em biết chơi cả hai môn đá cầu và cầu lông. - Vậy số học sinh chỉ biết đá cầu là: \[ 25 - 15 = 10 \text{ (em)} \] 2. Tìm số học sinh chỉ biết cầu lông: - Số học sinh biết chơi cầu lông là 30 em. - Trong đó, có 15 em biết chơi cả hai môn đá cầu và cầu lông. - Vậy số học sinh chỉ biết cầu lông là: \[ 30 - 15 = 15 \text{ (em)} \] 3. Tính sĩ số lớp 10A1: - Số học sinh chỉ biết đá cầu là 10 em. - Số học sinh chỉ biết cầu lông là 15 em. - Số học sinh biết chơi cả hai môn là 15 em. - Vậy sĩ số lớp 10A1 là: \[ 10 + 15 + 15 = 40 \text{ (em)} \] Đáp số: - Số học sinh chỉ biết đá cầu: 10 em - Số học sinh chỉ biết cầu lông: 15 em - Sĩ số lớp 10A1: 40 em Câu 4. Để tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần Dữ liệu ban đầu: \[ 5.5, 13.8, 10.2, 12.2, 11.0, 7.4, 11.4, 13.1, 12.5, 13.4 \] Sắp xếp lại theo thứ tự tăng dần: \[ 5.5, 7.4, 10.2, 11.0, 11.4, 12.2, 12.5, 13.1, 13.4, 13.8 \] Bước 2: Tính khoảng biến thiên Khoảng biến thiên là sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số. \[ Khoảng biến thiên = 13.8 - 5.5 = 8.3 \] Bước 3: Tìm các giá trị Q1, Q2 và Q3 - Q1 (Quartile 1): Giá trị ở vị trí 25% của dữ liệu. - Q2 (Quartile 2): Giá trị ở vị trí 50% của dữ liệu (cũng là trung vị). - Q3 (Quartile 3): Giá trị ở vị trí 75% của dữ liệu. Với 10 giá trị, ta có: - Q1: Giá trị ở vị trí $\frac{10 + 1}{4} = 2.75$, do đó Q1 nằm giữa giá trị thứ 2 và thứ 3. \[ Q1 = \frac{7.4 + 10.2}{2} = 8.8 \] - Q2: Giá trị ở vị trí $\frac{10 + 1}{2} = 5.5$, do đó Q2 nằm giữa giá trị thứ 5 và thứ 6. \[ Q2 = \frac{11.4 + 12.2}{2} = 11.8 \] - Q3: Giá trị ở vị trí $\frac{3(10 + 1)}{4} = 8.25$, do đó Q3 nằm giữa giá trị thứ 8 và thứ 9. \[ Q3 = \frac{13.1 + 13.4}{2} = 13.25 \] Bước 4: Tính khoảng tứ phân vị Khoảng tứ phân vị là chênh lệch giữa Q3 và Q1. \[ Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 13.25 - 8.8 = 4.45 \] Bước 5: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn là một phép đo độ phân tán của dữ liệu. Ta sẽ tính theo công thức: \[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}} \] Trong đó: - \( n \) là số lượng giá trị trong mẫu. - \( \bar{x} \) là trung bình cộng của mẫu. - \( x_i \) là mỗi giá trị trong mẫu. Trước tiên, tính trung bình cộng (\( \bar{x} \)): \[ \bar{x} = \frac{5.5 + 7.4 + 10.2 + 11.0 + 11.4 + 12.2 + 12.5 + 13.1 + 13.4 + 13.8}{10} = \frac{117.5}{10} = 11.75 \] Tiếp theo, tính tổng bình phương các sai số: \[ \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = (5.5 - 11.75)^2 + (7.4 - 11.75)^2 + ... + (13.8 - 11.75)^2 \] \[ = (-6.25)^2 + (-4.35)^2 + (-1.55)^2 + (-0.75)^2 + (-0.35)^2 + (0.45)^2 + (0.75)^2 + (1.35)^2 + (1.65)^2 + (2.05)^2 \] \[ = 39.0625 + 18.9225 + 2.4025 + 0.5625 + 0.1225 + 0.2025 + 0.5625 + 1.8225 + 2.7225 + 4.2025 \] \[ = 70.685 \] Cuối cùng, tính độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{\frac{70.685}{10-1}} = \sqrt{\frac{70.685}{9}} = \sqrt{7.8539} \approx 2.8 \] Kết luận - Khoảng biến thiên: 8.3 - Khoảng tứ phân vị: 4.45 - Độ lệch chuẩn: 2.8