giải chi tiết Câu 2. Một công ty sản xuất đồ chơi dự tính sản xuất một loại đồ chơi mới cho trẻ em. Biết rằng hàm chi phí,trung bình cho mỗi đồ chơi của công ty là $f(x)=2x+140+\frac{1800}x,~(x0),$ trong đó x là số lượng,đồ chơi được sản xuất. Hỏi công ty phải sản xuất bao nhiêu đồ chơi để chi phí trung bình mỗi sản phẩm,là thấp nhất?

Question

giải chi tiết Câu 2. Một công ty sản xuất đồ chơi dự tính sản xuất một loại đồ chơi mới cho trẻ em. Biết rằng hàm chi phí,trung bình cho mỗi đồ chơi của công ty là $f(x)=2x+140+\frac{1800}x,~(x>0),$ trong đó x là số lượng,đồ chơi được sản xuất. Hỏi công ty phải sản xuất bao nhiêu đồ chơi để chi phí trung bình mỗi sản phẩm,là thấp nhất?

Accepted Answer

Câu 2. Để tìm số lượng đồ chơi $ x $ sao cho chi phí trung bình mỗi sản phẩm là thấp nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x) = 2x + 140 + \frac{1800}{x} $. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) $: $$ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(2x + 140 + \frac{1800}{x}\right) = 2 - \frac{1800}{x^2} $$ Bước 2: Tìm điểm cực tiểu của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ f'(x) = 0 $$ $$ 2 - \frac{1800}{x^2} = 0 $$ $$ \frac{1800}{x^2} = 2 $$ $$ x^2 = \frac{1800}{2} $$ $$ x^2 = 900 $$ $$ x = 30 \quad (\text{vì } x > 0) $$ Bước 3: Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại điểm $ x = 30 $: - Khi $ x < 30 $, $ f'(x) < 0 $ (hàm số giảm) - Khi $ x > 30 $, $ f'(x) > 0 $ (hàm số tăng) Do đó, $ x = 30 $ là điểm cực tiểu của hàm số $ f(x) $. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu: $$ f(30) = 2(30) + 140 + \frac{1800}{30} $$ $$ f(30) = 60 + 140 + 60 $$ $$ f(30) = 260 $$ Vậy, công ty phải sản xuất 30 đồ chơi để chi phí trung bình mỗi sản phẩm là thấp nhất, và giá trị nhỏ nhất của chi phí trung bình là 260 đơn vị tiền tệ. Đáp số: 30 đồ chơi.