Giúp mình với!

Bài 2. a) Ta có: \[ \frac{x^3-1}{x^2-4} \cdot \left( \frac{1}{x-1} - \frac{x+1}{x^2+x+1} \right) \] Phân tích các đa thức: \[ x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) \] \[ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \] Do đó: \[ \frac{x^3-1}{x^2-4} = \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x-2)(x+2)} \] Tiếp theo, ta xét phần trong ngoặc: \[ \frac{1}{x-1} - \frac{x+1}{x^2 + x + 1} \] Tìm mẫu chung: \[ = \frac{x^2 + x + 1 - (x+1)(x-1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)} \] \[ = \frac{x^2 + x + 1 - (x^2 - 1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)} \] \[ = \frac{x^2 + x + 1 - x^2 + 1}{(x-1)(x^2 + x + 1)} \] \[ = \frac{x + 2}{(x-1)(x^2 + x + 1)} \] Nhân hai biểu thức lại: \[ \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x + 2}{(x-1)(x^2 + x + 1)} \] \[ = \frac{x + 2}{(x-2)(x+2)} \] \[ = \frac{1}{x-2} \] b) Ta có: \[ \frac{x^3+8}{x-1} \cdot \frac{10-2x}{x+2} + \frac{x^3+8}{x-1} \cdot \frac{x-9}{x+2} \] Phân tích các đa thức: \[ x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4) \] Do đó: \[ \frac{x^3+8}{x-1} = \frac{(x+2)(x^2 - 2x + 4)}{x-1} \] Nhân và cộng các biểu thức: \[ = \frac{(x+2)(x^2 - 2x + 4)}{x-1} \cdot \frac{10-2x}{x+2} + \frac{(x+2)(x^2 - 2x + 4)}{x-1} \cdot \frac{x-9}{x+2} \] \[ = \frac{(x^2 - 2x + 4)(10-2x)}{x-1} + \frac{(x^2 - 2x + 4)(x-9)}{x-1} \] \[ = \frac{(x^2 - 2x + 4)(10-2x + x-9)}{x-1} \] \[ = \frac{(x^2 - 2x + 4)(1-x)}{x-1} \] \[ = -(x^2 - 2x + 4) \] \[ = -x^2 + 2x - 4 \] c) Ta có: \[ \frac{x^2-2x+1}{x^2-x-2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2+x-2} \] Phân tích các đa thức: \[ x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \] \[ x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) \] \[ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \] \[ x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1) \] Do đó: \[ \frac{(x-1)^2}{(x-2)(x+1)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-1)} \] \[ = \frac{(x-1)^2}{(x-2)(x+1)} \cdot \frac{(x-2)}{(x-1)} \] \[ = \frac{x-1}{x+1} \] d) Ta có: \[ \frac{x-1}{2-x} \cdot \left( \frac{x^3}{1-x} + x^2 + x + 1 \right) \] Phân tích các đa thức: \[ x^3 = x \cdot x^2 \] \[ 1 - x = -(x-1) \] Do đó: \[ \frac{x-1}{2-x} \cdot \left( \frac{x^3}{-(x-1)} + x^2 + x + 1 \right) \] \[ = \frac{x-1}{2-x} \cdot \left( -x^2 + x^2 + x + 1 \right) \] \[ = \frac{x-1}{2-x} \cdot (x + 1) \] \[ = \frac{(x-1)(x+1)}{2-x} \] \[ = \frac{x^2 - 1}{2-x} \] Bài 3. a) Ta có: \[ x^2 - 9 : \frac{2x + 6}{x - 3} \] Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \( x^2 - 9 \) là một hiệu hai bình phương: \[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \] Phân thức \(\frac{2x + 6}{x - 3}\) có thể được rút gọn: \[ \frac{2x + 6}{x - 3} = \frac{2(x + 3)}{x - 3} \] Do đó, phép chia trở thành: \[ (x - 3)(x + 3) : \frac{2(x + 3)}{x - 3} \] Chia một phân thức cho một phân thức khác bằng cách nhân với nghịch đảo của phân thức thứ hai: \[ (x - 3)(x + 3) \times \frac{x - 3}{2(x + 3)} \] Rút gọn các thừa số chung: \[ \frac{(x - 3)(x + 3)(x - 3)}{2(x + 3)} = \frac{(x - 3)^2}{2} \] Vậy kết quả là: \[ \frac{(x - 3)^2}{2} \] b) Ta có: \[ \frac{xy}{2x - 3} : \frac{x^2 y^2}{6 - 4x} \] Phân thức \(\frac{x^2 y^2}{6 - 4x}\) có thể được viết lại: \[ \frac{x^2 y^2}{6 - 4x} = \frac{x^2 y^2}{-2(2x - 3)} \] Do đó, phép chia trở thành: \[ \frac{xy}{2x - 3} : \frac{x^2 y^2}{-2(2x - 3)} \] Chia một phân thức cho một phân thức khác bằng cách nhân với nghịch đảo của phân thức thứ hai: \[ \frac{xy}{2x - 3} \times \frac{-2(2x - 3)}{x^2 y^2} \] Rút gọn các thừa số chung: \[ \frac{xy \cdot (-2)(2x - 3)}{(2x - 3) \cdot x^2 y^2} = \frac{-2xy}{x^2 y^2} = \frac{-2}{xy} \] Vậy kết quả là: \[ \frac{-2}{xy} \] c) Ta có: \[ \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 2x + 1} : \frac{x^2 - 4}{x^2 - x} \] Phân thức \(\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 2x + 1}\) có thể được viết lại: \[ \frac{x(x + 2)}{(x - 1)^2} \] Phân thức \(\frac{x^2 - 4}{x^2 - x}\) có thể được viết lại: \[ \frac{(x - 2)(x + 2)}{x(x - 1)} \] Do đó, phép chia trở thành: \[ \frac{x(x + 2)}{(x - 1)^2} : \frac{(x - 2)(x + 2)}{x(x - 1)} \] Chia một phân thức cho một phân thức khác bằng cách nhân với nghịch đảo của phân thức thứ hai: \[ \frac{x(x + 2)}{(x - 1)^2} \times \frac{x(x - 1)}{(x - 2)(x + 2)} \] Rút gọn các thừa số chung: \[ \frac{x(x + 2) \cdot x(x - 1)}{(x - 1)^2 \cdot (x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 (x - 1)}{(x - 1)^2 (x - 2)} = \frac{x^2}{(x - 1)(x - 2)} \] Vậy kết quả là: \[ \frac{x^2}{(x - 1)(x - 2)} \] d) Ta có: \[ \frac{2x + 3y}{2 - x} : \frac{4x^2 + 12xy + 9y^2}{x^3 - 8} \] Phân thức \(\frac{4x^2 + 12xy + 9y^2}{x^3 - 8}\) có thể được viết lại: \[ \frac{(2x + 3y)^2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} \] Do đó, phép chia trở thành: \[ \frac{2x + 3y}{2 - x} : \frac{(2x + 3y)^2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} \] Chia một phân thức cho một phân thức khác bằng cách nhân với nghịch đảo của phân thức thứ hai: \[ \frac{2x + 3y}{2 - x} \times \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(2x + 3y)^2} \] Rút gọn các thừa số chung: \[ \frac{(2x + 3y) \cdot (x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(2 - x) \cdot (2x + 3y)^2} = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(2 - x)(2x + 3y)} = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{-(x - 2)(2x + 3y)} = \frac{-(x^2 + 2x + 4)}{2x + 3y} \] Vậy kết quả là: \[ \frac{-(x^2 + 2x + 4)}{2x + 3y} \] Bài 4. a) Rút gọn biểu thức $\frac{x+4}{x+5}:\frac{x+5}{x+6}:\frac{x+6}{x+4}$. Điều kiện xác định: $x \neq -5$, $x \neq -6$, $x \neq -4$. Ta có: \[ \frac{x+4}{x+5}:\frac{x+5}{x+6}:\frac{x+6}{x+4} = \frac{x+4}{x+5} \times \frac{x+6}{x+5} \times \frac{x+4}{x+6} \] Nhóm các phân thức lại: \[ = \frac{(x+4)(x+6)}{(x+5)(x+5)} \times \frac{x+4}{x+6} \] Rút gọn: \[ = \frac{(x+4)(x+6)}{(x+5)^2} \times \frac{x+4}{x+6} = \frac{(x+4)(x+4)}{(x+5)^2} = \frac{(x+4)^2}{(x+5)^2} \] Vậy biểu thức rút gọn là: \[ \frac{(x+4)^2}{(x+5)^2} \] b) Rút gọn biểu thức $\frac{x-7}{x+8}:(\frac{x-7}{x-9}:\frac{x+8}{x-9})$. Điều kiện xác định: $x \neq -8$, $x \neq 9$, $x \neq 7$. Ta có: \[ \frac{x-7}{x+8}:(\frac{x-7}{x-9}:\frac{x+8}{x-9}) = \frac{x-7}{x+8}:(\frac{x-7}{x-9} \times \frac{x-9}{x+8}) \] Nhóm các phân thức lại: \[ = \frac{x-7}{x+8}:(\frac{(x-7)(x-9)}{(x-9)(x+8)}) \] Rút gọn: \[ = \frac{x-7}{x+8}:(\frac{x-7}{x+8}) = \frac{x-7}{x+8} \times \frac{x+8}{x-7} = 1 \] Vậy biểu thức rút gọn là: \[ 1 \]