<p>làm đúng sai</p>

Câu 1. Trước tiên, ta sẽ xem xét từng phát biểu một. a) $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}$ - Vì N là trung điểm của DC, nên $\overrightarrow{DN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$. - Trong hình bình hành ABCD, ta có $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$. - Do đó, $\overrightarrow{DN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. - Ta cũng biết rằng $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$. - Thay $\overrightarrow{DN}$ vào, ta có $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Phát biểu này đúng. b) $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$ - Ta có $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}$. - Vì M là trung điểm của AB, nên $\overrightarrow{MA} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. - Ta đã biết $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. - Thay vào, ta có $\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}$. - Mặt khác, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$. - Do đó, $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + (-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = 2\overrightarrow{AD}$. Phát biểu này sai vì $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD}$ chứ không phải $2\overrightarrow{AD}$. c) $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$ - Vì M là trung điểm của AB, nên $\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MB}$. - Do đó, $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$. Phát biểu này đúng. d) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ - Trong hình bình hành ABCD, ta có $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$. Phát biểu này đúng. Kết luận: - Phát biểu a) đúng. - Phát biểu b) sai. - Phát biểu c) đúng. - Phát biểu d) đúng. Câu 2. a) Điểm trung bình của các môn thuộc tổ hợp Khoa học tự nhiên (Vật lý, Hóa học, Sinh học) là: \[ \frac{6,72 + 6,70 + 5,02}{3} = \frac{18,44}{3} \approx 6,15 \] Điểm trung bình của các môn thuộc tổ hợp Khoa học xã hội (Lịch sử, Địa lý, GDCD) là: \[ \frac{6,34 + 6,68 + 8,03}{3} = \frac{21,05}{3} \approx 7,02 \] Vì 6,15 < 7,02 nên mệnh đề này là đúng. b) Điểm trung bình của 9 môn thi tốt nghiệp năm 2022 là: \[ \frac{6,47 + 6,51 + 6,72 + 6,70 + 5,02 + 6,34 + 6,68 + 8,03 + 5,15}{9} = \frac{57,62}{9} \approx 6,40 \] Vì 6,40 không bằng 6,52 nên mệnh đề này là sai. c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: \[ 8,03 - 5,02 = 3,01 \] Vì 3,01 bằng 3,01 nên mệnh đề này là đúng. d) Để tính khoảng tứ phân vị, ta cần sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần: \[ 5,02, 5,15, 6,34, 6,47, 6,51, 6,68, 6,70, 6,72, 8,03 \] - Số liệu ở vị trí Q1 (tứ phân vị thứ nhất) là giá trị ở vị trí $\left(\frac{n+1}{4}\right)$-th, với n = 9: \[ Q1 = 5,15 \] - Số liệu ở vị trí Q3 (tứ phân vị thứ ba) là giá trị ở vị trí $\left(3 \times \frac{n+1}{4}\right)$-th: \[ Q3 = 6,70 \] Khoảng tứ phân vị là: \[ \Delta Q = Q3 - Q1 = 6,70 - 5,15 = 1,55 \] Vì 1,55 không bằng 0,69 nên mệnh đề này là sai. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Câu 3. Trước tiên, ta cần xác định các góc và cạnh của tam giác ABC. 1. Xác định góc B: \[ \widehat{B} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{C} = 180^\circ - 60^\circ - 70^\circ = 50^\circ \] 2. Áp dụng Định lý sin: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \] Trong đó, \( b = 7 \), \( \widehat{A} = 60^\circ \), \( \widehat{B} = 50^\circ \), \( \widehat{C} = 70^\circ \). 3. Tính \( \frac{b}{\sin B} \): \[ \frac{b}{\sin B} = \frac{7}{\sin 50^\circ} \] Sử dụng máy tính để tìm giá trị của \( \sin 50^\circ \): \[ \sin 50^\circ \approx 0.766 \] Do đó: \[ \frac{7}{0.766} \approx 9.14 \] Vậy: \[ 2R \approx 9.14 \implies R \approx \frac{9.14}{2} \approx 4.57 \] 4. Tính cạnh \( a \): \[ \frac{a}{\sin 60^\circ} = 9.14 \] Biết rằng \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ a = 9.14 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 9.14 \times 0.866 \approx 7.92 \] Như vậy, các lựa chọn đúng là: - \( b) \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \) - \( c) R \approx 4.57 \) Đáp án: \( b) \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \) và \( c) R \approx 4.57 \). Câu 4. a) Để ABCD là hình bình hành thì ta có: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \] Tính \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = (2 - 3; 4 - 2) = (-1; 2) \] Tính \(\overrightarrow{AD}\): \[ \overrightarrow{AD} = (x_D - 1; y_D - 1) \] Do đó: \[ (x_D - 1; y_D - 1) = (-1; 2) \] Suy ra: \[ x_D - 1 = -1 \Rightarrow x_D = 0 \] \[ y_D - 1 = 2 \Rightarrow y_D = 3 \] Vậy tọa độ điểm D là \(D(0; 3)\). b) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng BC: \[ M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2} \right) = \left( \frac{3 + 2}{2}; \frac{2 + 4}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}; 3 \right) \] c) Tính các vectơ: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1; 2 - 1) = (2; 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (2 - 1; 4 - 1) = (1; 3) \] d) Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 2 + 3 = 5 \] Tính độ dài các vectơ: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] Do đó: \[ \cos \theta = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) là \(45^\circ\). Đáp số: a) \(D(0; 3)\) b) \((\frac{5}{2}; 3)\) c) \(\overrightarrow{AB} = (2; 1)\), \(\overrightarrow{AC} = (1; 3)\) d) \(45^\circ\)