giúp e voi ạ

Câu 1: Để tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số \( y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x^2 + 3x + 3)'(x + 2) - (x^2 + 3x + 3)(x + 2)'}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{(2x + 3)(x + 2) - (x^2 + 3x + 3)}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 4x + 3x + 6 - x^2 - 3x - 3}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} \] 2. Tìm điểm cực trị: Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} = 0 \] \[ (x + 1)(x + 3) = 0 \] \[ x = -1 \text{ hoặc } x = -3 \] 3. Xác định tính chất cực trị: - Tại \( x = -1 \): \[ y'' = \left( \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} \right)' \] \[ y'' = \frac{(x + 2)^2 \cdot (2x + 4) - (x + 1)(x + 3) \cdot 2(x + 2)}{(x + 2)^4} \] \[ y'' = \frac{2(x + 2)[(x + 2) - (x + 1)(x + 3)]}{(x + 2)^4} \] \[ y'' = \frac{2[(x + 2) - (x^2 + 4x + 3)]}{(x + 2)^3} \] \[ y'' = \frac{2(-x^2 - 2x - 1)}{(x + 2)^3} \] \[ y'' = \frac{-2(x + 1)^2}{(x + 2)^3} \] Tại \( x = -1 \): \[ y'' = \frac{-2(0)^2}{(1)^3} = 0 \] Do đó, \( x = -1 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = -3 \): \[ y'' = \frac{-2(-3 + 1)^2}{(-3 + 2)^3} = \frac{-2(4)}{(-1)^3} = 8 > 0 \] Do đó, \( x = -3 \) là điểm cực tiểu. 4. Tính giá trị cực đại và cực tiểu: - Tại \( x = -1 \): \[ y = \frac{(-1)^2 + 3(-1) + 3}{-1 + 2} = \frac{1 - 3 + 3}{1} = 1 \] - Tại \( x = -3 \): \[ y = \frac{(-3)^2 + 3(-3) + 3}{-3 + 2} = \frac{9 - 9 + 3}{-1} = -3 \] 5. Tính giá trị của biểu thức \( M^2 - 2m \): \[ M = 1, \quad m = -3 \] \[ M^2 - 2m = 1^2 - 2(-3) = 1 + 6 = 7 \] Vậy giá trị của biểu thức \( M^2 - 2m \) là \( 7 \). Câu 2: Giả sử giá thuê mỗi căn hộ tăng thêm $x$ lần, mỗi lần 100 nghìn đồng. Khi đó, giá thuê mỗi căn hộ sẽ là: \[ 8 + 0.1x \text{ (triệu đồng)} \] Số căn hộ bị bỏ trống sẽ là $x$, vậy số căn hộ còn lại có người thuê là: \[ 100 - x \] Doanh thu hàng tháng từ việc cho thuê căn hộ sẽ là: \[ (8 + 0.1x)(100 - x) \] Ta cần tìm giá trị của $x$ để doanh thu này lớn nhất. Xét hàm số: \[ f(x) = (8 + 0.1x)(100 - x) \] \[ f(x) = 800 - 8x + 10x - 0.1x^2 \] \[ f(x) = 800 + 2x - 0.1x^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số này, ta tính đạo hàm và tìm điểm cực đại: \[ f'(x) = 2 - 0.2x \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị của $x$: \[ 2 - 0.2x = 0 \] \[ 0.2x = 2 \] \[ x = 10 \] Vậy, giá trị của $x$ là 10. Thay $x = 10$ vào biểu thức giá thuê mỗi căn hộ: \[ 8 + 0.1 \times 10 = 9 \text{ (triệu đồng)} \] Vậy, người quản lý nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là 9 triệu đồng để doanh thu là lớn nhất. Câu 3. Để xác định độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F}$ tác động lên vật, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hợp lực theo từng chiều: - Chiều dọc theo AB: $\overrightarrow{F_1} = 4N$ - Chiều dọc theo AD: $\overrightarrow{F_2} = 6N$ - Chiều dọc theo AA': $\overrightarrow{F_3} = 8N$ 2. Tính hợp lực trong mặt phẳng ABCD: - Hợp lực trong mặt phẳng ABCD là $\overrightarrow{F_{ABCD}}$, được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow{F_{ABCD}}| = \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2} \] Thay các giá trị: \[ |\overrightarrow{F_{ABCD}}| = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \approx 7.21N \] 3. Tính hợp lực tổng thể: - Hợp lực tổng thể $\overrightarrow{F}$ được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{|\overrightarrow{F_{ABCD}}|^2 + |\overrightarrow{F_3}|^2} \] Thay các giá trị: \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{(7.21)^2 + 8^2} = \sqrt{51.9841 + 64} = \sqrt{115.9841} \approx 10.77N \] 4. Làm tròn kết quả: - Làm tròn đến hàng phần chục: \[ |\overrightarrow{F}| \approx 10.8N \] Vậy độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F}$ tác động lên vật là 10.8N. Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị để tìm các tham số \( b \), \( c \), và \( d \). 2. Thay các giá trị đã tìm được vào biểu thức \( P = b^2 + c^2 + d^2 \). Bước 1: Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị - Đồ thị cắt trục \( y \) tại điểm \( (0, -1) \). Điều này cho thấy khi \( x = 0 \), \( y = -1 \). Thay vào phương trình hàm số: \[ y = \frac{0 - b}{c \cdot 0 + d} = -1 \] \[ \frac{-b}{d} = -1 \] \[ b = d \] - Đồ thị cắt trục \( x \) tại điểm \( (1, 0) \). Điều này cho thấy khi \( x = 1 \), \( y = 0 \). Thay vào phương trình hàm số: \[ y = \frac{1 - b}{c \cdot 1 + d} = 0 \] \[ \frac{1 - b}{c + d} = 0 \] \[ 1 - b = 0 \] \[ b = 1 \] - Từ \( b = d \) và \( b = 1 \), ta suy ra \( d = 1 \). - Đồ thị có đường thẳng \( x = -1 \) là tiệm cận đứng. Điều này cho thấy khi \( x = -1 \), mẫu số của hàm số bằng 0: \[ c \cdot (-1) + d = 0 \] \[ -c + 1 = 0 \] \[ c = 1 \] Bước 2: Thay các giá trị đã tìm được vào biểu thức \( P = b^2 + c^2 + d^2 \) Ta đã tìm được \( b = 1 \), \( c = 1 \), và \( d = 1 \). Thay vào biểu thức \( P \): \[ P = b^2 + c^2 + d^2 \] \[ P = 1^2 + 1^2 + 1^2 \] \[ P = 1 + 1 + 1 \] \[ P = 3 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là \( 3 \). Câu 5: Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số lượng vận động viên: Tổng số lượng vận động viên là: \[ 3 + 8 + 12 + 12 + 4 = 39 \] 2. Xác định các điểm tứ phân vị: - Điểm Q1 (tứ phân vị thứ nhất) nằm ở vị trí $\frac{1}{4} \times 39 = 9,75$, tức là gần với vận động viên thứ 10. - Điểm Q3 (tứ phân vị thứ ba) nằm ở vị trí $\frac{3}{4} \times 39 = 29,25$, tức là gần với vận động viên thứ 30. 3. Xác định khoảng tứ phân vị: - Điểm Q1 nằm trong nhóm [2;4) vì vận động viên thứ 10 nằm trong nhóm này. - Điểm Q3 nằm trong nhóm [6;8) vì vận động viên thứ 30 nằm trong nhóm này. Do đó, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu này là từ nhóm [2;4) đến nhóm [6;8). Kết luận: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là từ [2;4) đến [6;8). Câu 6: Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$, ta sử dụng công thức sau: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z \] Trong đó: - $\overrightarrow u = (u_x; u_y; u_z) = (3; 0; 1)$ - $\overrightarrow v = (v_x; v_y; v_z) = (2; 1; 0)$ Bây giờ, ta thay các thành phần tương ứng vào công thức: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \] Tính từng hạng tử: \[ 3 \cdot 2 = 6 \] \[ 0 \cdot 1 = 0 \] \[ 1 \cdot 0 = 0 \] Cộng các kết quả lại: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 6 + 0 + 0 = 6 \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ là: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 6 \]