Ciuuu toiii

Câu 65: Bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ cho thấy: - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$, do đó đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang bên trái. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$, do đó đường thẳng $y = 0$ cũng là tiệm cận ngang bên phải. - $\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$ và $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$, do đó đường thẳng $x = -1$ là tiệm cận đứng. - $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$ và $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$, do đó đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng. Như vậy, tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: - Số tiệm cận đứng: 2 (tại $x = -1$ và $x = 1$) - Số tiệm cận ngang: 1 (tại $y = 0$) Tổng cộng là: 2 + 1 = 3 Đáp án đúng là: C. 3. Câu 70: Để tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{\sqrt{x+16} - 4}{x^2 + x} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Với căn thức \(\sqrt{x+16}\), ta có \(x + 16 \geq 0 \Rightarrow x \geq -16\). - Với mẫu số \(x^2 + x = x(x + 1)\), ta có \(x \neq 0\) và \(x \neq -1\). Vậy ĐKXĐ của hàm số là: \(x \geq -16\) và \(x \neq 0\), \(x \neq -1\). 2. Tìm các điểm có thể là tiệm cận đứng: - Các điểm \(x = 0\) và \(x = -1\) là những điểm làm mẫu số bằng 0, do đó chúng có thể là tiệm cận đứng. 3. Kiểm tra giới hạn tại các điểm này: - Kiểm tra giới hạn khi \(x \to 0\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+16} - 4}{x^2 + x} \] Thay \(x = 0\) vào tử số: \[ \sqrt{0 + 16} - 4 = 4 - 4 = 0 \] Thay \(x = 0\) vào mẫu số: \[ 0^2 + 0 = 0 \] Ta có dạng không xác định \(\frac{0}{0}\). Áp dụng quy tắc L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} (\sqrt{x+16} - 4)}{\frac{d}{dx} (x^2 + x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+16}}}{2x + 1} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{16}}}{1} = \frac{1}{8} \] Giới hạn hữu hạn, nên \(x = 0\) không là tiệm cận đứng. - Kiểm tra giới hạn khi \(x \to -1\): \[ \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x+16} - 4}{x^2 + x} \] Thay \(x = -1\) vào tử số: \[ \sqrt{-1 + 16} - 4 = \sqrt{15} - 4 \] Thay \(x = -1\) vào mẫu số: \[ (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0 \] Ta có dạng không xác định \(\frac{\sqrt{15} - 4}{0}\). Do đó: \[ \lim_{x \to -1^-} \frac{\sqrt{x+16} - 4}{x^2 + x} = -\infty \] \[ \lim_{x \to -1^+} \frac{\sqrt{x+16} - 4}{x^2 + x} = +\infty \] Giới hạn vô cực, nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng. Kết luận: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 1. Đáp án đúng là: D. 1. Câu 71: Để tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{\sqrt{x+9} - 3}{x^2 + x} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Với căn thức \(\sqrt{x+9}\), ta có \(x + 9 \geq 0 \Rightarrow x \geq -9\). - Với mẫu số \(x^2 + x\), ta có \(x^2 + x \neq 0 \Rightarrow x(x + 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0\) và \(x \neq -1\). Vậy ĐKXĐ của hàm số là: \(x \geq -9\) và \(x \neq 0\), \(x \neq -1\). 2. Tìm các điểm có thể là tiệm cận đứng: - Các điểm \(x = 0\) và \(x = -1\) là những điểm làm mẫu số bằng 0, do đó chúng có thể là tiệm cận đứng. 3. Kiểm tra giới hạn tại các điểm này: - Kiểm tra giới hạn khi \(x \to 0\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+9} - 3}{x^2 + x} \] Ta thấy rằng khi \(x \to 0\), tử số \(\sqrt{x+9} - 3\) tiến đến 0, còn mẫu số \(x^2 + x\) cũng tiến đến 0. Do đó, ta cần kiểm tra kỹ hơn: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+9} - 3}{x(x + 1)} \] Nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{x+9} + 3\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+9} - 3)(\sqrt{x+9} + 3)}{x(x + 1)(\sqrt{x+9} + 3)} = \lim_{x \to 0} \frac{x + 9 - 9}{x(x + 1)(\sqrt{x+9} + 3)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(x + 1)(\sqrt{x+9} + 3)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{(x + 1)(\sqrt{x+9} + 3)} \] Thay \(x = 0\) vào: \[ \frac{1}{(0 + 1)(\sqrt{0+9} + 3)} = \frac{1}{1 \cdot 6} = \frac{1}{6} \] Giới hạn hữu hạn, nên \(x = 0\) không là tiệm cận đứng. - Kiểm tra giới hạn khi \(x \to -1\): \[ \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x+9} - 3}{x^2 + x} \] Ta thấy rằng khi \(x \to -1\), tử số \(\sqrt{x+9} - 3\) tiến đến \(\sqrt{-1+9} - 3 = \sqrt{8} - 3\), còn mẫu số \(x^2 + x\) tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x+9} - 3}{x(x + 1)} \] Thay \(x = -1\) vào mẫu số: \[ \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x+9} - 3}{x(x + 1)} = \frac{\sqrt{-1+9} - 3}{-1 \cdot 0} = \frac{\sqrt{8} - 3}{0} \] Giới hạn vô cùng, nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng. Vậy số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 1. Đáp án đúng là: D. 1. Câu 72: Để tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x^2 + x} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Với căn thức \(\sqrt{x+4}\), ta có \(x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4\). - Với mẫu số \(x^2 + x = x(x + 1)\), ta có \(x \neq 0\) và \(x \neq -1\). Vậy ĐKXĐ của hàm số là: \(x \geq -4\) và \(x \neq 0\), \(x \neq -1\). 2. Xét giới hạn tại các điểm có thể là tiệm cận đứng: - Ta xét các điểm \(x = 0\) và \(x = -1\) vì chúng làm mẫu số bằng 0. Tại \(x = 0\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x^2 + x} \] Thay \(x = 0\) vào tử số: \[ \sqrt{0 + 4} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0 \] Thay \(x = 0\) vào mẫu số: \[ 0^2 + 0 = 0 \] Do đó, ta có dạng không xác định \(\frac{0}{0}\). Áp dụng phương pháp nhân liên hợp: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x^2 + x} \cdot \frac{\sqrt{x+4} + 2}{\sqrt{x+4} + 2} = \lim_{x \to 0} \frac{(x+4) - 4}{(x^2 + x)(\sqrt{x+4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(x + 1)(\sqrt{x+4} + 2)} \] Rút gọn: \[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{(x + 1)(\sqrt{x+4} + 2)} = \frac{1}{(0 + 1)(\sqrt{0+4} + 2)} = \frac{1}{1 \cdot (2 + 2)} = \frac{1}{4} \] Kết luận: \(x = 0\) không là tiệm cận đứng. Tại \(x = -1\): \[ \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x^2 + x} \] Thay \(x = -1\) vào tử số: \[ \sqrt{-1 + 4} - 2 = \sqrt{3} - 2 \] Thay \(x = -1\) vào mẫu số: \[ (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0 \] Do đó, ta có dạng không xác định \(\frac{\sqrt{3} - 2}{0}\). Ta xét giới hạn hai bên: \[ \lim_{x \to -1^-} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x(x + 1)} = -\infty \] \[ \lim_{x \to -1^+} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x(x + 1)} = +\infty \] Kết luận: \(x = -1\) là tiệm cận đứng. 3. Kết luận: - Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 1 (tại \(x = -1\)). Đáp án đúng là: C. 1. Câu 73: Để tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x - 4}{x^2 - 16} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x - 4}{x^2 - 16} \) có mẫu số là \( x^2 - 16 \). Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ x^2 - 16 \neq 0 \implies (x - 4)(x + 4) \neq 0 \implies x \neq 4 \text{ và } x \neq -4 \] Vậy ĐKXĐ của hàm số là \( x \neq 4 \) và \( x \neq -4 \). 2. Tìm các điểm làm cho mẫu số bằng 0: Mẫu số \( x^2 - 16 = 0 \) khi \( x = 4 \) hoặc \( x = -4 \). 3. Kiểm tra các điểm này có làm cho tử số bằng 0 hay không: - Khi \( x = 4 \): \[ x^2 - 3x - 4 = 4^2 - 3 \cdot 4 - 4 = 16 - 12 - 4 = 0 \] Vậy khi \( x = 4 \), cả tử số và mẫu số đều bằng 0, tức là \( x = 4 \) là điểm bất định. - Khi \( x = -4 \): \[ x^2 - 3x - 4 = (-4)^2 - 3 \cdot (-4) - 4 = 16 + 12 - 4 = 24 \neq 0 \] Vậy khi \( x = -4 \), tử số không bằng 0, mẫu số bằng 0, nên \( x = -4 \) là tiệm cận đứng. 4. Kết luận: - Điểm \( x = 4 \) là điểm bất định, không phải là tiệm cận đứng. - Điểm \( x = -4 \) là tiệm cận đứng. Vậy số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 1. Đáp án đúng là: C. 1. Câu 76: Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \), ta cần tìm giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng 0. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): \[ x + 1 \neq 0 \] \[ x \neq -1 \] Bước 2: Tìm tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \) là đường thẳng \( x = -1 \). Vậy đáp án đúng là: \[ D.~x = -1 \] Câu 77: Để tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{\sqrt{x + 25} - 5}{x^2 + x} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Với căn thức \(\sqrt{x + 25}\), ta có \(x + 25 \geq 0 \Rightarrow x \geq -25\). - Với mẫu số \(x^2 + x = x(x + 1)\), ta có \(x \neq 0\) và \(x \neq -1\). Vậy ĐKXĐ của hàm số là: \(x \geq -25\) và \(x \neq 0\), \(x \neq -1\). 2. Tìm tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng của hàm số \(y = f(x)\) là các đường thẳng \(x = a\) sao cho \(\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty\). Ta xét giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến đến các điểm \(x = 0\) và \(x = -1\): - Khi \(x \to 0\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 25} - 5}{x^2 + x} \] Thay \(x = 0\) vào mẫu số: \[ x^2 + x = 0^2 + 0 = 0 \] Thay \(x = 0\) vào tử số: \[ \sqrt{0 + 25} - 5 = \sqrt{25} - 5 = 5 - 5 = 0 \] Do đó, ta có dạng bất định \(\frac{0}{0}\). Áp dụng quy tắc L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} (\sqrt{x + 25} - 5)}{\frac{d}{dx} (x^2 + x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x + 25}}}{2x + 1} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{25}}}{1} = \frac{1}{10} \] Kết quả này không tiến đến vô cực, nên \(x = 0\) không là tiệm cận đứng. - Khi \(x \to -1\): \[ \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x + 25} - 5}{x^2 + x} \] Thay \(x = -1\) vào mẫu số: \[ x^2 + x = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0 \] Thay \(x = -1\) vào tử số: \[ \sqrt{-1 + 25} - 5 = \sqrt{24} - 5 \] Do đó, ta có dạng bất định \(\frac{\sqrt{24} - 5}{0}\). Ta thấy rằng khi \(x \to -1\), mẫu số tiến đến 0 và tử số là một hằng số khác 0, nên giới hạn này tiến đến vô cực: \[ \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x + 25} - 5}{x^2 + x} = \pm \infty \] Kết quả này tiến đến vô cực, nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng. 3. Kết luận: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 1. Đáp án đúng là: C. 1 Câu 78: Để xác định đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ dựa vào các đặc điểm của đồ thị và tính chất của các hàm số đã cho. Các hàm số được đưa ra là: 1. \( y = x^3 - 3x + 2 \) 2. \( y = x^3 - 3x - 2 \) 3. \( y = x^3 + 3x + 2 \) 4. \( y = x^3 + 3x - 2 \) Bước 1: Xác định các đặc điểm của đồ thị: - Đồ thị đi qua điểm (0, 2). - Đồ thị có hai điểm cực đại và cực tiểu. - Đồ thị có dạng cong lên ở hai đầu. Bước 2: Kiểm tra các hàm số tại điểm \( x = 0 \): - \( y = x^3 - 3x + 2 \) tại \( x = 0 \): \( y = 0^3 - 3 \cdot 0 + 2 = 2 \) - \( y = x^3 - 3x - 2 \) tại \( x = 0 \): \( y = 0^3 - 3 \cdot 0 - 2 = -2 \) - \( y = x^3 + 3x + 2 \) tại \( x = 0 \): \( y = 0^3 + 3 \cdot 0 + 2 = 2 \) - \( y = x^3 + 3x - 2 \) tại \( x = 0 \): \( y = 0^3 + 3 \cdot 0 - 2 = -2 \) Như vậy, chỉ có hai hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \) và \( y = x^3 + 3x + 2 \) thỏa mãn điều kiện đi qua điểm (0, 2). Bước 3: Xác định tính chất của các hàm số còn lại: - Hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \) có đạo hàm là \( y' = 3x^2 - 3 \). Đạo hàm này bằng 0 khi \( 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \). Do đó, hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu. - Hàm số \( y = x^3 + 3x + 2 \) có đạo hàm là \( y' = 3x^2 + 3 \). Đạo hàm này luôn dương (\( 3x^2 + 3 > 0 \)), do đó hàm số này không có cực đại hoặc cực tiểu. Do đó, chỉ có hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \) thỏa mãn tất cả các đặc điểm của đồ thị. Kết luận: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \).