Giải chi tiết Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi là trung điểm , là tâm của đáy. Các mệnh đề sau là đúng hay sai?

Câu 2. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a) $\overrightarrow{A'C}$ cùng phương với $\overrightarrow{IO}$. - Ta xác định các vectơ: - $\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A'}$ - $\overrightarrow{IO} = \overrightarrow{O} - \overrightarrow{I}$ - Vì I là trung điểm của AA', ta có $\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{A'}}{2}$. - O là tâm của đáy BC', ta có $\overrightarrow{O} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C'}}{2}$. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{A'C}$ và $\overrightarrow{IO}$ không cùng phương vì chúng không nằm trên cùng một đường thẳng. Do đó, mệnh đề này là sai. Mệnh đề b) $(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{A'C}, \overrightarrow{AB})$. - Ta xác định góc giữa hai vectơ: - $(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{AB})$: Góc giữa $\overrightarrow{OI}$ và $\overrightarrow{AB}$. - $(\overrightarrow{A'C}, \overrightarrow{AB})$: Góc giữa $\overrightarrow{A'C}$ và $\overrightarrow{AB}$. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{A'C}$ và $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương và không vuông góc, do đó góc giữa chúng không phải là góc giữa $\overrightarrow{OI}$ và $\overrightarrow{AB}$. Do đó, mệnh đề này là sai. Mệnh đề c) $|\overrightarrow{OI}| = \sqrt{3}$. - Ta xác định độ dài vectơ $\overrightarrow{OI}$: - $\overrightarrow{O} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C'}}{2}$ - $\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{A'}}{2}$ - Độ dài $\overrightarrow{OI}$ là: \[ |\overrightarrow{OI}| = \left| \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C'}}{2} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{A'}}{2} \right| \] - Ta thấy rằng độ dài này không phải là $\sqrt{3}$. Do đó, mệnh đề này là sai. Mệnh đề d) $\overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{AB} = -2$. - Ta xác định tích vô hướng: - $\overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{AB}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{OI}$ và $\overrightarrow{AB}$ không vuông góc và không cùng phương, do đó tích vô hướng không phải là -2. Do đó, mệnh đề này là sai. Kết luận: Tất cả các mệnh đề đều là sai.