bánbsmalalqla

Câu 41. Câu 1: a) Tìm tập xác định của hàm số \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). Điều kiện xác định: \( x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \). Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \). b) Giải phương trình \( \sqrt{x + 2} = 3 \). Điều kiện: \( x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \). \( \sqrt{x + 2} = 3 \Rightarrow x + 2 = 9 \Rightarrow x = 7 \). Kiểm tra điều kiện: \( x = 7 \geq -2 \) (thỏa mãn). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 7 \). c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = -x^2 + 4x - 3 \). Hàm số \( y = -x^2 + 4x - 3 \) là hàm bậc hai có \( a = -1 < 0 \), do đó nó đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh. Tọa độ đỉnh: \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \). Giá trị lớn nhất: \( y(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi \( x = 2 \). d) Giải hệ phương trình \( \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \). Cộng hai phương trình: \( (x + y) + (x - y) = 5 + 1 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \). Thay \( x = 3 \) vào phương trình \( x + y = 5 \): \( 3 + y = 5 \Rightarrow y = 2 \). Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (3, 2) \). Câu 42. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên thông tin đã cho. Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \) Hàm số \( f(x) = 4x^3 - 6x \). Nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = \int (4x^3 - 6x) \, dx = x^4 - 3x^2 + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F(0) = 2 \) Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = 0^4 - 3 \cdot 0^2 + C = 2 \] \[ C = 2 \] Do đó, nguyên hàm cụ thể của \( f(x) \) là: \[ F(x) = x^4 - 3x^2 + 2 \] Bước 3: Kiểm tra các khẳng định a) \( F(x) = f'(x) \) Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 6x) = 12x^2 - 6 \] Nhận thấy rằng \( F(x) = x^4 - 3x^2 + 2 \) không bằng \( f'(x) = 12x^2 - 6 \). Do đó, khẳng định này là sai. b) \( F'(x) = f(x) \) Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 3x^2 + 2) = 4x^3 - 6x \] Nhận thấy rằng \( F'(x) = 4x^3 - 6x \) đúng bằng \( f(x) = 4x^3 - 6x \). Do đó, khẳng định này là đúng. c) \( F(x) = x^4 - 3x^2 + 2 \) Theo kết quả ở Bước 2, chúng ta đã xác định được \( F(x) = x^4 - 3x^2 + 2 \). Do đó, khẳng định này là đúng. d) \( F(1) = 3 \) Thay \( x = 1 \) vào \( F(x) \): \[ F(1) = 1^4 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] Nhận thấy rằng \( F(1) = 0 \), không bằng 3. Do đó, khẳng định này là sai. Kết luận: - Khẳng định a) là sai. - Khẳng định b) là đúng. - Khẳng định c) là đúng. - Khẳng định d) là sai. Câu 43. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên các kiến thức về nguyên hàm và tích phân. a) $F(x) = 2\int x \, dx + \int \sqrt{x} \, dx + C$ với $C \in \mathbb{R}$. - Ta biết rằng tích phân của tổng bằng tổng các tích phân: \[ \int (2x + \sqrt{x}) \, dx = 2 \int x \, dx + \int \sqrt{x} \, dx + C \] - Do đó, khẳng định này là đúng. b) $G(x) = F(x) + 2024 \Rightarrow G(x) = \int (2x + \sqrt{x}) \, dx$. - Ta có $F(x) = \int (2x + \sqrt{x}) \, dx$. - Nếu $G(x) = F(x) + 2024$, thì $G(x)$ cũng là một nguyên hàm của $(2x + \sqrt{x})$ vì hằng số 2024 không ảnh hưởng đến tính chất nguyên hàm. - Do đó, khẳng định này là đúng. c) $F(x) = x + \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$. - Ta tính nguyên hàm từng phần: \[ \int 2x \, dx = x^2 + C_1 \] \[ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2} + C_2 = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C_2 \] - Vậy: \[ F(x) = x^2 + \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C \] - Khẳng định này là sai vì $F(x)$ phải là $x^2 + \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C$, không phải $x + \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C$. d) $F(1) = \frac{2}{3} \Rightarrow F(4) = \frac{28}{3}$. - Ta đã biết: \[ F(x) = x^2 + \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C \] - Thay $x = 1$ vào: \[ F(1) = 1^2 + \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + C = 1 + \frac{2}{3} + C = \frac{5}{3} + C \] - Vì $F(1) = \frac{2}{3}$, suy ra: \[ \frac{5}{3} + C = \frac{2}{3} \Rightarrow C = \frac{2}{3} - \frac{5}{3} = -1 \] - Vậy: \[ F(x) = x^2 + \frac{2}{3} x \sqrt{x} - 1 \] - Thay $x = 4$ vào: \[ F(4) = 4^2 + \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{4} - 1 = 16 + \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2 - 1 = 16 + \frac{16}{3} - 1 = 16 + \frac{16}{3} - \frac{3}{3} = 16 + \frac{13}{3} = \frac{48}{3} + \frac{13}{3} = \frac{61}{3} \] - Khẳng định này là sai vì $F(4) = \frac{61}{3}$, không phải $\frac{28}{3}$. Kết luận: - a) Đúng - b) Đúng - c) Sai - d) Sai Câu 44. a) Đúng vì $\int(x^3-4x+5)dx=\frac{x^4}4-2x^2+5x+C.$ b) Đúng vì $F(x)=\frac{x^4}4-2x^2+5x+C.$ Do $F(1)=3$ nên $\frac{1}{4}-2+5+C=3,$ suy ra $C=-\frac{1}{4}.$ Vậy $F(x)=\frac{x^4}4-2x^2+5x-\frac{1}{4}.$ Suy ra $F(0)=-\frac{1}{4}.$ c) Đúng vì $\int[f(x)+f^\prime(x)]dx=\int(x^3-4x+5+x^2-4)dx=\frac{x^4}4+x^3-2x^2+9x+C$ d) Đúng vì $\int f(x+1)dx=\int[(x+1)^3-4(x+1)+5]dx=\int(x^3+3x^2-x+2)dx=\frac{x^4}4+x^3-\frac12x^2+2x+C$