Giúp em với

Câu 5. Để tính các đại lượng thống kê, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: 1. Tính số trung bình ($\overline{x}$): - Xác định các khoảng thời gian và số người tương ứng. - Tính trung điểm của mỗi khoảng thời gian. - Nhân trung điểm với số người trong mỗi khoảng. - Cộng tất cả các giá trị này lại và chia cho tổng số người. 2. Tính khoảng biến thiên (R): - Khoảng biến thiên là sự khác biệt giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dữ liệu. 3. Tính độ lệch chuẩn ($S_x$): - Tính phương sai ($S^2$) bằng cách lấy bình phương độ lệch của mỗi giá trị so với trung bình, nhân với tần suất tương ứng, cộng lại và chia cho tổng số người. - Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. 4. Tính số trung vị (M): - Xác định vị trí của số trung vị trong dãy dữ liệu đã sắp xếp. - Nếu số lượng dữ liệu là lẻ, số trung vị là giá trị ở vị trí trung tâm. - Nếu số lượng dữ liệu là chẵn, số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí trung tâm. 5. Tính khoảng tứ phân vị ($\Delta_Q$): - Tìm giá trị Q1 (tứ phân vị thứ nhất) và Q3 (tứ phân vị thứ ba). - Khoảng tứ phân vị là sự khác biệt giữa Q3 và Q1. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước cụ thể: Bước 1: Tính số trung bình ($\overline{x}$) | Thời gian (phút) | Số người | Trung điểm | Số người × Trung điểm | |-----------------|----------|------------|-----------------------| | [10; 20) | 8 | 15 | 8 × 15 = 120 | | [20; 30) | 8 | 25 | 8 × 25 = 200 | | [30; 40) | 10 | 35 | 10 × 35 = 350 | | [40; 50) | 6 | 45 | 6 × 45 = 270 | | [50; 60) | 7 | 55 | 7 × 55 = 385 | | [60; 70) | 1 | 65 | 1 × 65 = 65 | Tổng số người: 8 + 8 + 10 + 6 + 7 + 1 = 40 Số trung bình: \[ \overline{x} = \frac{120 + 200 + 350 + 270 + 385 + 65}{40} = \frac{1390}{40} = 34.75 \] Bước 2: Tính khoảng biến thiên (R) Giá trị lớn nhất: 70 phút Giá trị nhỏ nhất: 10 phút Khoảng biến thiên: \[ R = 70 - 10 = 60 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn ($S_x$) Phương sai: \[ S^2 = \frac{\sum (x_i - \overline{x})^2 \cdot f_i}{N} \] Trước tiên, tính $(x_i - \overline{x})^2 \cdot f_i$ cho mỗi khoảng: | Thời gian (phút) | Số người | Trung điểm | $(x_i - \overline{x})^2$ | $(x_i - \overline{x})^2 \cdot f_i$ | |-----------------|----------|------------|-------------------------|-----------------------------------| | [10; 20) | 8 | 15 | $(15 - 34.75)^2 = 388.0625$ | $8 \times 388.0625 = 3104.5$ | | [20; 30) | 8 | 25 | $(25 - 34.75)^2 = 95.0625$ | $8 \times 95.0625 = 760.5$ | | [30; 40) | 10 | 35 | $(35 - 34.75)^2 = 0.0625$ | $10 \times 0.0625 = 0.625$ | | [40; 50) | 6 | 45 | $(45 - 34.75)^2 = 105.0625$ | $6 \times 105.0625 = 630.375$ | | [50; 60) | 7 | 55 | $(55 - 34.75)^2 = 405.0625$ | $7 \times 405.0625 = 2835.4375$ | | [60; 70) | 1 | 65 | $(65 - 34.75)^2 = 900.0625$ | $1 \times 900.0625 = 900.0625$ | Tổng: \[ \sum (x_i - \overline{x})^2 \cdot f_i = 3104.5 + 760.5 + 0.625 + 630.375 + 2835.4375 + 900.0625 = 8231.5 \] Phương sai: \[ S^2 = \frac{8231.5}{40} = 205.7875 \] Độ lệch chuẩn: \[ S_x = \sqrt{205.7875} \approx 14.35 \] Bước 4: Tính số trung vị (M) Tổng số người là 40, nên số trung vị nằm ở vị trí $\frac{40 + 1}{2} = 20.5$, tức là giữa người thứ 20 và người thứ 21. Dãy dữ liệu đã sắp xếp theo thời gian: - 8 người trong [10; 20) - 8 người trong [20; 30) - 10 người trong [30; 40) - 6 người trong [40; 50) - 7 người trong [50; 60) - 1 người trong [60; 70) Người thứ 20 và người thứ 21 đều thuộc khoảng [30; 40). Số trung vị: \[ M = 35 \] Bước 5: Tính khoảng tứ phân vị ($\Delta_Q$) Q1 (tứ phân vị thứ nhất) nằm ở vị trí $\frac{40}{4} = 10$, tức là giữa người thứ 10 và người thứ 11. Người thứ 10 và người thứ 11 đều thuộc khoảng [20; 30). Q1: \[ Q1 = 25 \] Q3 (tứ phân vị thứ ba) nằm ở vị trí $\frac{3 \times 40}{4} = 30$, tức là giữa người thứ 30 và người thứ 31. Người thứ 30 và người thứ 31 đều thuộc khoảng [40; 50). Q3: \[ Q3 = 45 \] Khoảng tứ phân vị: \[ \Delta_Q = Q3 - Q1 = 45 - 25 = 20 \] Kết luận Số trung bình: \[ \overline{x} = 34.75 \] Khoảng biến thiên: \[ R = 60 \] Độ lệch chuẩn: \[ S_x \approx 14.35 \] Số trung vị: \[ M = 35 \] Khoảng tứ phân vị: \[ \Delta_Q = 20 \] Câu 6. Hàm số bậc ba có dạng tổng quát là \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). Trước tiên, ta nhận thấy rằng đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm: \( x = -1 \), \( x = 1 \), và \( x = 2 \). Điều này cho thấy các nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \) là \( x = -1 \), \( x = 1 \), và \( x = 2 \). Do đó, hàm số có thể viết dưới dạng: \[ f(x) = a(x + 1)(x - 1)(x - 2) \] Tiếp theo, ta cần xác định giá trị của \( a \). Ta biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm \( (0, 2) \). Thay \( x = 0 \) và \( f(0) = 2 \) vào phương trình trên, ta có: \[ f(0) = a(0 + 1)(0 - 1)(0 - 2) = 2 \] \[ a \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-2) = 2 \] \[ 2a = 2 \] \[ a = 1 \] Vậy hàm số cần tìm là: \[ f(x) = 1 \cdot (x + 1)(x - 1)(x - 2) \] \[ f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) \] Mở rộng biểu thức này: \[ f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) \] \[ f(x) = (x^2 - 1)(x - 2) \] \[ f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2 \] Vậy công thức hàm số là: \[ f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2 \]