giup minhh

Câu 2. a) Điểm M có tọa độ là $M(3;-5;4).$ b) Điểm $M_1$ là hình chiếu của điểm M lên trục Oy nên điểm $M_1$ có tọa độ là $M_1(0;-5;0).$ c) Điểm $M_2$ là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng tọa độ Oxz nên điểm $M_2$ có tọa độ là $M_2(3;0;4).$ d) Cho điểm $M_3$ thỏa mãn $\overrightarrow{OM_3}=-3\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}.$ Vậy điểm $M_3$ đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ O. Lập luận từng bước: - Điểm M có tọa độ là $M(3;-5;4)$. - Hình chiếu của M lên trục Oy là điểm $M_1$, do đó tọa độ của $M_1$ là $(0; -5; 0)$. - Hình chiếu của M lên mặt phẳng tọa độ Oxz là điểm $M_2$, do đó tọa độ của $M_2$ là $(3; 0; 4)$. - Điểm $M_3$ đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ O, do đó tọa độ của $M_3$ là $(-3; 5; -4)$. Đáp số: a) $M(3;-5;4)$ b) $M_1(0;-5;0)$ c) $M_2(3;0;4)$ d) $M_3(-3;5;-4)$ Câu 3. a) Khẳng định này sai vì ra đa được đặt trên đỉnh tháp, do đó tọa độ của ra đa là (0;0;0,08). b) Khẳng định này sai vì máy bay cách 300 km về phía đông (trục Ox) và 200 km về phía nam (trục Oy), nên tọa độ của máy bay là (300;200;10). c) Khẳng định này đúng vì khoảng cách từ máy bay đến ra đa là: \[ \sqrt{(300 - 0)^2 + (200 - 0)^2 + (10 - 0,08)^2} = \sqrt{300^2 + 200^2 + 9,92^2} = \sqrt{90000 + 40000 + 98,4064} = \sqrt{130098,4064} \approx 360,69 \text{ km} \] d) Khẳng định này đúng vì phạm vi theo dõi của ra đa là 500 km, trong khi khoảng cách từ máy bay đến ra đa là khoảng 360,69 km, nhỏ hơn phạm vi theo dõi của ra đa. Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng. Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a) Nếu nối đường dây điện theo đường gấp khúc $AM + MO$, ta có: - Chi phí lắp đặt trên bờ: $AM = 112$ m, chi phí là $112 \times 25200 = 2822400$ đồng. - Chi phí lắp đặt dưới nước: $MO = 84$ m, chi phí là $84 \times 42000 = 3528000$ đồng. - Tổng chi phí: $2822400 + 3528000 = 6350400$ đồng. Vậy mệnh đề a) là sai, vì chi phí lắp đặt theo đường gấp khúc $AM + MO$ lớn hơn 6000000 đồng. Mệnh đề b) Nếu chọn một vị trí K trên đoạn AM sao cho $KM = x$, ta có: - Chi phí lắp đặt trên bờ: $AK = 112 - x$, chi phí là $(112 - x) \times 25200$ đồng. - Chi phí lắp đặt dưới nước: $KO = \sqrt{x^2 + 84^2}$, chi phí là $\sqrt{x^2 + 84^2} \times 42000$ đồng. - Tổng chi phí: $f(x) = 25200(112 - x) + 42000\sqrt{x^2 + 84^2}$. Vậy mệnh đề b) là đúng. Mệnh đề c) Để tìm giá trị của $x$ sao cho chi phí lắp đặt thấp nhất, ta cần tìm giá trị của $x$ làm cho đạo hàm của $f(x)$ bằng 0. $f(x) = 25200(112 - x) + 42000\sqrt{x^2 + 84^2}$ Tính đạo hàm: $f'(x) = -25200 + 42000 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 84^2}}$ Đặt $f'(x) = 0$: $-25200 + 42000 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 84^2}} = 0$ $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 84^2}} = \frac{25200}{42000} = \frac{3}{5}$ Giải phương trình: $x = \frac{3}{5} \sqrt{x^2 + 84^2}$ $x^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 (x^2 + 84^2)$ $x^2 = \frac{9}{25}(x^2 + 84^2)$ $25x^2 = 9x^2 + 9 \cdot 84^2$ $16x^2 = 9 \cdot 84^2$ $x^2 = \frac{9 \cdot 84^2}{16}$ $x = \frac{3 \cdot 84}{4} = 63$ Vậy mệnh đề c) là đúng. Mệnh đề d) Thay $x = 63$ vào hàm số $f(x)$: $f(63) = 25200(112 - 63) + 42000\sqrt{63^2 + 84^2}$ $f(63) = 25200 \cdot 49 + 42000 \cdot \sqrt{63^2 + 84^2}$ $f(63) = 1234800 + 42000 \cdot \sqrt{3969 + 7056}$ $f(63) = 1234800 + 42000 \cdot \sqrt{11025}$ $f(63) = 1234800 + 42000 \cdot 105$ $f(63) = 1234800 + 4410000$ $f(63) = 5644800$ Vậy mệnh đề d) là đúng. Kết luận - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là đúng. - Mệnh đề d) là đúng. Câu 1. Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a} = (5; 2; -4)$ và $\overrightarrow{b} = (4; -2; 2)$, ta thực hiện theo công thức sau: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \] Trong đó: - \(a_x = 5\) - \(a_y = 2\) - \(a_z = -4\) - \(b_x = 4\) - \(b_y = -2\) - \(b_z = 2\) Bây giờ, ta thay các giá trị này vào công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) + (-4) \cdot 2 \] Tiếp theo, ta thực hiện các phép nhân: \[ 5 \cdot 4 = 20 \] \[ 2 \cdot (-2) = -4 \] \[ (-4) \cdot 2 = -8 \] Cuối cùng, ta cộng các kết quả lại: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 20 + (-4) + (-8) = 20 - 4 - 8 = 8 \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 8 \] Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số đã cho là \( y = x^4 - 3x^2 + ax + b \). Đạo hàm của hàm số này là: \[ y' = 4x^3 - 6x + a \] 2. Áp dụng điều kiện cực tiểu tại điểm \( A(2; -2) \): Vì điểm \( A(2; -2) \) là điểm cực tiểu, nên tại \( x = 2 \), đạo hàm \( y' \) phải bằng 0: \[ y'(2) = 4(2)^3 - 6(2) + a = 0 \] Thay \( x = 2 \) vào đạo hàm: \[ 4(8) - 6(2) + a = 0 \] \[ 32 - 12 + a = 0 \] \[ 20 + a = 0 \] \[ a = -20 \] 3. Thay tọa độ điểm \( A(2; -2) \) vào phương trình hàm số để tìm \( b \): Ta có: \[ y = x^4 - 3x^2 + ax + b \] Thay \( x = 2 \) và \( y = -2 \): \[ -2 = (2)^4 - 3(2)^2 + (-20)(2) + b \] \[ -2 = 16 - 12 - 40 + b \] \[ -2 = -36 + b \] \[ b = 34 \] 4. Tính \( S = a + b \): \[ S = a + b = -20 + 34 = 14 \] Vậy, \( S = 14 \). Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất của hàm số. Bước 1: Gọi chiều dài của cánh đồng là x (m) và chiều rộng của cánh đồng là y (m). Bước 2: Xác định điều kiện: - Chiều dài và chiều rộng phải lớn hơn 0: x > 0 và y > 0. - Tổng chiều dài hàng rào là 240 m: x + 2y = 240. Bước 3: Biểu diễn diện tích S của cánh đồng theo x: S = x y Bước 4: Thay y từ điều kiện vào biểu thức diện tích: x + 2y = 240 2y = 240 - x y = (240 - x) / 2 Do đó, diện tích S trở thành: S = x ((240 - x) / 2) S = (240x - x^2) / 2 Bước 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số S: Đạo hàm của S theo x: dS/dx = (240 - 2x) / 2 dS/dx = 120 - x Đặt dS/dx = 0 để tìm điểm cực đại: 120 - x = 0 x = 120 Bước 6: Kiểm tra điều kiện để đảm bảo x = 120 là giá trị lớn nhất: d^2S/dx^2 = -1 (đạo hàm bậc hai của S) Vì d^2S/dx^2 < 0, nên x = 120 là điểm cực đại. Bước 7: Tính diện tích lớn nhất: y = (240 - 120) / 2 = 60 Diện tích lớn nhất: S_max = 120 60 = 7200 (m²) Vậy, ông nông dân có thể rào được cánh đồng với diện tích lớn nhất là 7200 m² khi chiều dài là 120 m và chiều rộng là 60 m. Câu 4. Khối lượng của đèn chùm là \( m = 10 \, \text{kg} \). Gia tốc rơi tự do là \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \). Trọng lượng của đèn chùm là: \[ W = m \cdot g = 10 \, \text{kg} \times 10 \, \text{m/s}^2 = 100 \, \text{N} \] Do đèn chùm được giữ bởi bốn đoạn cáp SA, SB, SC, SD, nên mỗi đoạn cáp chịu một phần lực căng để giữ cân bằng trọng lượng của đèn chùm. Vì vậy, mỗi đoạn cáp sẽ chịu một phần lực căng là: \[ T = \frac{W}{4} = \frac{100 \, \text{N}}{4} = 25 \, \text{N} \] Vậy độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp là: \[ \boxed{25 \, \text{N}} \] Câu 5. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của các giá trị: - Ta có các khoảng giá trị và tần số tương ứng: - [4, 6): 5 học sinh - [6, 8): 10 học sinh - [8, 10): 15 học sinh - [10, 12): 10 học sinh - [12, 14): 5 học sinh - Xác định giá trị trung tâm của mỗi khoảng: - Giá trị trung tâm của [4, 6) là $\frac{4 + 6}{2} = 5$ - Giá trị trung tâm của [6, 8) là $\frac{6 + 8}{2} = 7$ - Giá trị trung tâm của [8, 10) là $\frac{8 + 10}{2} = 9$ - Giá trị trung tâm của [10, 12) là $\frac{10 + 12}{2} = 11$ - Giá trị trung tâm của [12, 14) là $\frac{12 + 14}{2} = 13$ - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(5 \times 5) + (7 \times 10) + (9 \times 15) + (11 \times 10) + (13 \times 5)}{5 + 10 + 15 + 10 + 5} \] \[ \bar{x} = \frac{25 + 70 + 135 + 110 + 65}{45} = \frac{405}{45} = 9 \] 2. Tính phương sai: - Phương sai được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Trong đó: - \(f_i\) là tần số của nhóm thứ i - \(x_i\) là giá trị trung tâm của nhóm thứ i - \(\bar{x}\) là trung bình cộng - \(n\) là tổng số lượng mẫu - Áp dụng công thức: \[ s^2 = \frac{(5 \times (5 - 9)^2) + (10 \times (7 - 9)^2) + (15 \times (9 - 9)^2) + (10 \times (11 - 9)^2) + (5 \times (13 - 9)^2)}{45} \] \[ s^2 = \frac{(5 \times 16) + (10 \times 4) + (15 \times 0) + (10 \times 4) + (5 \times 16)}{45} \] \[ s^2 = \frac{80 + 40 + 0 + 40 + 80}{45} = \frac{240}{45} \approx 5.33 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 5.33 (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\) sao cho chi phí xây dựng bể nước mưa là thấp nhất. Bước 1: Xác định thể tích của bể nước mưa. Thể tích của bể nước mưa là \(32 \, m^3\). Bước 2: Xác định diện tích đáy của bể nước mưa. Vì đáy của bể là hình vuông, nên diện tích đáy là \(a^2\). Bước 3: Xác định chiều cao của bể nước mưa. Chiều cao của bể nước mưa là \(c\). Bước 4: Viết phương trình thể tích của bể nước mưa. \[ a^2 \cdot c = 32 \] Bước 5: Biểu diễn \(c\) theo \(a\). \[ c = \frac{32}{a^2} \] Bước 6: Xác định chi phí xây dựng bể nước mưa. Chi phí xây dựng bể nước mưa là: \[ 600.000 \times 32 = 19.200.000 \, \text{đồng} \] Bước 7: Tìm giá trị của \(a\) sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất. Để chi phí xây dựng là thấp nhất, chúng ta cần tối ưu hóa giá trị của \(a\). Ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị của \(a\) sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất. Bước 8: Tính đạo hàm của \(c\) theo \(a\). \[ c = \frac{32}{a^2} \] \[ \frac{dc}{da} = -\frac{64}{a^3} \] Bước 9: Tìm giá trị của \(a\) sao cho đạo hàm bằng 0. \[ -\frac{64}{a^3} = 0 \] Điều này không có nghiệm thực, vì đạo hàm không thể bằng 0. Do đó, chúng ta cần kiểm tra giới hạn của \(a\) để tìm giá trị tối ưu. Bước 10: Kiểm tra giới hạn của \(a\). Khi \(a\) tăng lên, \(c\) giảm xuống. Để tối ưu hóa chi phí xây dựng, chúng ta cần chọn giá trị của \(a\) sao cho \(c\) là lớn nhất. Bước 11: Chọn giá trị của \(a\) sao cho \(c\) là lớn nhất. Chúng ta có thể chọn \(a = 2\), vì khi đó \(c = \frac{32}{2^2} = 8\). Bước 12: Tính giá trị của \(b\). Vì đáy của bể là hình vuông, nên \(b = a = 2\). Bước 13: Tính giá trị của \(a + b + c\). \[ a + b + c = 2 + 2 + 8 = 12 \] Vậy giá trị của \(a + b + c\) để bể được xây dựng với chi phí tiết kiệm nhất là 12.