Giúp tớ giải câu này ạ Biết rằng $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{x.g^\prime(x)-g(x)}{x^2}$ thoả mãn,29.,$3f(3)=g(3)-6$ và $g(2)=8.$ Tính giá trị của $f(2).$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm của hàm số $\frac{x.g^\prime(x)-g(x)}{x^2}$.
2. Áp dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số nguyên hàm.
3. Tính giá trị của $f(2)$.

Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số $\frac{x.g^\prime(x)-g(x)}{x^2}$.

Ta nhận thấy rằng:
$$
\frac{x.g^\prime(x)-g(x)}{x^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{g(x)}{x}\right)
$$

Do đó, nguyên hàm của hàm số này là:
$$
f(x) = \int \frac{x.g^\prime(x)-g(x)}{x^2} \, dx = \frac{g(x)}{x} + C
$$
với $C$ là hằng số nguyên hàm.

Bước 2: Áp dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số nguyên hàm.

Theo đề bài, ta có:
$$
3f(3) = g(3) - 6
$$

Thay $f(x) = \frac{g(x)}{x} + C$ vào điều kiện trên:
$$
3 \left( \frac{g(3)}{3} + C \right) = g(3) - 6
$$
$$
g(3) + 3C = g(3) - 6
$$
$$
3C = -6
$$
$$
C = -2
$$

Vậy, ta có:
$$
f(x) = \frac{g(x)}{x} - 2
$$

Bước 3: Tính giá trị của $f(2)$.

Theo đề bài, ta biết rằng $g(2) = 8$. Thay vào biểu thức của $f(x)$:
$$
f(2) = \frac{g(2)}{2} - 2 = \frac{8}{2} - 2 = 4 - 2 = 2
$$

Vậy giá trị của $f(2)$ là:
$$
\boxed{2}
$$