Giúp em với ạ

Câu 9. Công sai của cấp số cộng $(u_n)$ là: \[ d = u_7 - u_5 = 9 - (-3) = 12 \] Vậy đáp án đúng là A. $d = 12$. Câu 10. Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{5 \cdot 2^{n+2} - 2 \cdot 3^{n+2}}{7 + 3^{n+1}}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho $3^{n+1}$ để dễ dàng nhận biết giới hạn khi $n$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{5 \cdot 2^{n+2} - 2 \cdot 3^{n+2}}{7 + 3^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5 \cdot 2^{n+2}}{3^{n+1}} - \frac{2 \cdot 3^{n+2}}{3^{n+1}}}{\frac{7}{3^{n+1}} + \frac{3^{n+1}}{3^{n+1}}} \] Bước 2: Rút gọn các phân số trong biểu thức: \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} \cdot 2 - 2 \cdot 3}{\frac{7}{3^{n+1}} + 1} \] \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{10 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} - 6}{\frac{7}{3^{n+1}} + 1} \] Bước 3: Xét giới hạn của từng thành phần khi $n$ tiến đến vô cùng: - $\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}$ tiến đến 0 vì $\frac{2}{3} < 1$. - $\frac{7}{3^{n+1}}$ tiến đến 0 vì $3^{n+1}$ tiến đến vô cùng. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{10 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} - 6}{\frac{7}{3^{n+1}} + 1} = \frac{10 \cdot 0 - 6}{0 + 1} = \frac{-6}{1} = -6 \] Vậy giới hạn của biểu thức là $-6$. Đáp án đúng là A. $-6$. Câu 11. Để tìm số hạng thứ mấy của dãy số $(u_n)$ mà bằng $\frac{61}{462}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số: \[ u_n = \frac{2x + 1}{n^2 + 2} \] Bước 2: Thay giá trị $\frac{61}{462}$ vào số hạng tổng quát để tìm giá trị của $n$: \[ \frac{2x + 1}{n^2 + 2} = \frac{61}{462} \] Bước 3: Giải phương trình trên để tìm $n$: \[ 2x + 1 = \frac{61(n^2 + 2)}{462} \] \[ 2x + 1 = \frac{61n^2 + 122}{462} \] \[ 2x + 1 = \frac{61n^2}{462} + \frac{122}{462} \] \[ 2x + 1 = \frac{61n^2}{462} + \frac{61}{231} \] Bước 4: Đặt $2x + 1 = \frac{61n^2 + 122}{462}$ và giải phương trình này: \[ 2x + 1 = \frac{61n^2 + 122}{462} \] \[ 462(2x + 1) = 61n^2 + 122 \] \[ 924x + 462 = 61n^2 + 122 \] \[ 924x = 61n^2 - 340 \] \[ x = \frac{61n^2 - 340}{924} \] Bước 5: Tìm giá trị của $n$ sao cho $x$ là số nguyên: Ta thử các giá trị của $n$ từ 1 đến 20 để tìm giá trị nào thỏa mãn điều kiện trên. - Khi $n = 1$: \[ x = \frac{61(1)^2 - 340}{924} = \frac{61 - 340}{924} = \frac{-279}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 2$: \[ x = \frac{61(2)^2 - 340}{924} = \frac{244 - 340}{924} = \frac{-96}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 3$: \[ x = \frac{61(3)^2 - 340}{924} = \frac{549 - 340}{924} = \frac{209}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 4$: \[ x = \frac{61(4)^2 - 340}{924} = \frac{976 - 340}{924} = \frac{636}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 5$: \[ x = \frac{61(5)^2 - 340}{924} = \frac{1525 - 340}{924} = \frac{1185}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 6$: \[ x = \frac{61(6)^2 - 340}{924} = \frac{2196 - 340}{924} = \frac{1856}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 7$: \[ x = \frac{61(7)^2 - 340}{924} = \frac{2947 - 340}{924} = \frac{2607}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 8$: \[ x = \frac{61(8)^2 - 340}{924} = \frac{3848 - 340}{924} = \frac{3508}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 9$: \[ x = \frac{61(9)^2 - 340}{924} = \frac{4929 - 340}{924} = \frac{4589}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 10$: \[ x = \frac{61(10)^2 - 340}{924} = \frac{6100 - 340}{924} = \frac{5760}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 11$: \[ x = \frac{61(11)^2 - 340}{924} = \frac{7461 - 340}{924} = \frac{7121}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 12$: \[ x = \frac{61(12)^2 - 340}{924} = \frac{8952 - 340}{924} = \frac{8612}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 13$: \[ x = \frac{61(13)^2 - 340}{924} = \frac{10621 - 340}{924} = \frac{10281}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 14$: \[ x = \frac{61(14)^2 - 340}{924} = \frac{12464 - 340}{924} = \frac{12124}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 15$: \[ x = \frac{61(15)^2 - 340}{924} = \frac{14475 - 340}{924} = \frac{14135}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 16$: \[ x = \frac{61(16)^2 - 340}{924} = \frac{16656 - 340}{924} = \frac{16316}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 17$: \[ x = \frac{61(17)^2 - 340}{924} = \frac{18997 - 340}{924} = \frac{18657}{924} \] (không thỏa mãn) - Khi $n = 18$: \[ x = \frac{61(18)^2 - 340}{924} = \frac{21496 - 340}{924} = \frac{21156}{924} = 23 \] (thỏa mãn) Vậy $\frac{61}{462}$ là số hạng thứ 18 của dãy số. Đáp án đúng là: D. 18. Câu 12. Phương trình $\sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x = 0$ có thể được giải bằng cách xét từng nhân tử riêng lẻ. 1. Xét $\sin x = 0$: \[ \sin x = 0 \implies x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 2. Xét $\cos x = 0$: \[ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 3. Xét $\cos 2x = 0$: \[ \cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Tóm lại, nghiệm của phương trình $\sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x = 0$ là: \[ x = k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Nhận thấy rằng các nghiệm trên đều có dạng $x = \frac{k\pi}{2}$ hoặc $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, do đó chúng ta có thể tổng hợp lại thành: \[ x = \frac{k\pi}{4} \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Vậy đáp án đúng là: D. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{4} \quad (k \in \mathbb{Z})$. Câu 1. Để giải quyết các phát biểu trong câu hỏi, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một cách chi tiết. a) Tổng tất cả số hạng của dãy số bằng 65. Dãy số đã cho là: $-1, 2, 5, 8, 11, 14, 17$. Tổng của các số hạng trong dãy số: \[ S = -1 + 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 \] Ta tính tổng từng cặp số: \[ (-1 + 17) + (2 + 14) + (5 + 11) + 8 = 16 + 16 + 16 + 8 = 56 \] Như vậy, tổng tất cả số hạng của dãy số không bằng 65 mà bằng 56. Phát biểu này là sai. b) Có $u_7 + u_4 = 2u_1 + 11d$. Trước tiên, ta xác định các số hạng trong dãy số: - $u_1 = -1$ - $u_2 = 2$ - $u_3 = 5$ - $u_4 = 8$ - $u_5 = 11$ - $u_6 = 14$ - $u_7 = 17$ Ta kiểm tra phát biểu $u_7 + u_4 = 2u_1 + 11d$: \[ u_7 + u_4 = 17 + 8 = 25 \] \[ 2u_1 + 11d = 2(-1) + 11 \cdot 3 = -2 + 33 = 31 \] Như vậy, $u_7 + u_4 \neq 2u_1 + 11d$. Phát biểu này là sai. c) Nếu dãy số đã cho là một cấp số cộng thì công sai của cấp số cộng là $d = 2$. Ta kiểm tra xem dãy số đã cho có phải là cấp số cộng hay không bằng cách tính hiệu giữa các số hạng liên tiếp: \[ 2 - (-1) = 3 \] \[ 5 - 2 = 3 \] \[ 8 - 5 = 3 \] \[ 11 - 8 = 3 \] \[ 14 - 11 = 3 \] \[ 17 - 14 = 3 \] Như vậy, hiệu giữa các số hạng liên tiếp đều bằng 3, tức là công sai $d = 3$. Phát biểu này là sai vì công sai không phải là 2 mà là 3. d) Dãy số đã cho là cấp số cộng. Như đã kiểm tra ở phần trên, hiệu giữa các số hạng liên tiếp đều bằng 3, nên dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai $d = 3$. Phát biểu này là đúng. Kết luận: - Phát biểu a) là sai. - Phát biểu b) là sai. - Phát biểu c) là sai. - Phát biểu d) là đúng. Đáp án: d) Dãy số đã cho là cấp số cộng. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp một theo yêu cầu của đề bài. Trường hợp a) Nếu \(a = 3\) và \(b = 0\): Ta cần tính: \[ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{9x^2 - 4x + 1} - 3x) \] Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{9x^2 - 4x + 1} - 3x \right) \cdot \frac{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} + 3x}{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} + 3x} \] Sử dụng công thức nhân liên hợp: \[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{(9x^2 - 4x + 1) - (3x)^2}{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} + 3x} \] \[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{9x^2 - 4x + 1 - 9x^2}{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} + 3x} \] \[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{-4x + 1}{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} + 3x} \] Chia cả tử và mẫu cho \(x\): \[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{-4 + \frac{1}{x}}{\sqrt{9 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}} + 3} \] Khi \(x \to -\infty\), các phân số \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{1}{x^2}\) tiến đến 0: \[ = \frac{-4 + 0}{\sqrt{9 + 0 + 0} + 3} \] \[ = \frac{-4}{3 + 3} \] \[ = \frac{-4}{6} \] \[ = -\frac{2}{3} \] Vậy, nếu \(a = 3\) và \(b = 0\), thì: \[ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{9x^2 - 4x + 1} - 3x) = -\frac{2}{3} \] Trường hợp b) Nếu \(a = 0\) và \(b = 0\): Ta cần tính: \[ \lim_{x \to -\infty} \sqrt{9x^2 - 4x + 1} \] Khi \(x \to -\infty\), biểu thức \(9x^2 - 4x + 1\) tiến đến \(+\infty\): \[ \lim_{x \to -\infty} \sqrt{9x^2 - 4x + 1} = +\infty \] Trường hợp c) Nếu \(a = 4\) và \(b = 0\): Ta cần tính: \[ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{9x^2 - 4x + 1} - 4x) \] Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{9x^2 - 4x + 1} - 4x \right) \cdot \frac{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} + 4x}{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} + 4x} \] Sử dụng công thức nhân liên hợp: \[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{(9x^2 - 4x + 1) - (4x)^2}{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} + 4x} \] \[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{9x^2 - 4x + 1 - 16x^2}{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} + 4x} \] \[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{-7x^2 - 4x + 1}{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} + 4x} \] Chia cả tử và mẫu cho \(x^2\): \[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{-7 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}{\sqrt{9 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}} + \frac{4}{x}} \] Khi \(x \to -\infty\), các phân số \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{1}{x^2}\) tiến đến 0: \[ = \frac{-7 + 0 + 0}{\sqrt{9 + 0 + 0} + 0} \] \[ = \frac{-7}{3} \] \[ = -\frac{7}{3} \] Vậy, nếu \(a = 4\) và \(b = 0\), thì: \[ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{9x^2 - 4x + 1} - 4x) = -\frac{7}{3} \] Trường hợp d) Nếu \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{9x^2 - 4x + 1} - ax - b) = \frac{10}{3}\): Ta cần tìm \(a\) và \(b\) sao cho: \[ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{9x^2 - 4x + 1} - ax - b) = \frac{10}{3} \] Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{9x^2 - 4x + 1} - ax - b \right) \cdot \frac{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} + ax + b}{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} + ax + b} \] Sử dụng công thức nhân liên hợp: \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{(9x^2 - 4x + 1) - (ax + b)^2}{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} + ax + b} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{9x^2 - 4x + 1 - (a^2x^2 + 2abx + b^2)}{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} + ax + b} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{(9 - a^2)x^2 - (4 + 2ab)x + (1 - b^2)}{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} + ax + b} \] Để giới hạn tồn tại và bằng \(\frac{10}{3}\), hệ số của \(x^2\) trong tử số phải bằng 0: \[ 9 - a^2 = 0 \implies a^2 = 9 \implies a = 3 \text{ hoặc } a = -3 \] Chúng ta xét hai trường hợp: 1. \(a = 3\): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{- (4 + 6b)x + (1 - b^2)}{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} + 3x + b} \] Phân tích thêm: \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{- (4 + 6b)x + (1 - b^2)}{3x + b} \] Chia cả tử và mẫu cho \(x\): \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{- (4 + 6b) + \frac{1 - b^2}{x}}{3 + \frac{b}{x}} \] Khi \(x \to +\infty\), các phân số \(\frac{1 - b^2}{x}\) và \(\frac{b}{x}\) tiến đến 0: \[ = \frac{- (4 + 6b)}{3} \] Để giới hạn bằng \(\frac{10}{3}\): \[ \frac{- (4 + 6b)}{3} = \frac{10}{3} \implies - (4 + 6b) = 10 \implies 4 + 6b = -10 \implies 6b = -14 \implies b = -\frac{7}{3} \] 2. \(a = -3\): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{- (4 - 6b)x + (1 - b^2)}{\sqrt{9x^2 - 4x + 1} - 3x + b} \] Phân tích thêm: \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{- (4 - 6b)x + (1 - b^2)}{-3x + b} \] Chia cả tử và mẫu cho \(x\): \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{- (4 - 6b) + \frac{1 - b^2}{x}}{-3 + \frac{b}{x}} \] Khi \(x \to +\infty\), các phân số \(\frac{1 - b^2}{x}\) và \(\frac{b}{x}\) tiến đến 0: \[ = \frac{- (4 - 6b)}{-3} \] Để giới hạn bằng \(\frac{10}{3}\): \[ \frac{- (4 - 6b)}{-3} = \frac{10}{3} \implies 4 - 6b = 10 \implies 6b = -6 \implies b = -1 \] Tóm lại, chúng ta có hai cặp giá trị \((a, b)\): 1. \(a = 3\) và \(b = -\frac{7}{3}\) 2. \(a = -3\) và \(b = -1\) Kiểm tra \(a^2 + b^2\): 1. \(a = 3\) và \(b = -\frac{7}{3}\): \[ a^2 + b^2 = 3^2 + \left(-\frac{7}{3}\right)^2 = 9 + \frac{49}{9} = \frac{81}{9} + \frac{49}{9} = \frac{130}{9} \] 2. \(a = -3\) và \(b = -1\): \[ a^2 + b^2 = (-3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10 \] Vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{d) Nếu \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{9x^2 - 4x + 1} - ax - b) = \frac{10}{3} thì a^2 + b^2 = 10.} \] Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định giá trị đại diện của nhóm [1,25; 1,75) Giá trị đại diện của nhóm [1,25; 1,75) là trung điểm của khoảng này: \[ \text{Giá trị đại diện} = \frac{1,25 + 1,75}{2} = 1,5 \] Vậy giá trị đại diện của nhóm [1,25; 1,75) là 1,5. Bước 2: Tìm mốt của mẫu số liệu Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. Từ bảng dữ liệu, ta thấy nhóm [0,75; 1,25) có số lần xuất hiện nhiều nhất là 32 lần. Do đó, nhóm chứa mốt là [0,75; 1,25). Bước 3: Tính trung vị của mẫu số liệu Trung vị là giá trị nằm ở giữa khi sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần. Ta tính tổng số lần xuất hiện: \[ 25 + 32 + 14 + 12 + 4 = 87 \] Vì số lượng mẫu là 87 (số lẻ), trung vị sẽ là giá trị ở vị trí $\left(\frac{87 + 1}{2}\right)$-th = 44-th giá trị. Ta xác định nhóm chứa trung vị: - Nhóm [0,25; 0,75) có 25 lần, không đủ để chứa trung vị. - Nhóm [0,75; 1,25) có 32 lần, tổng là 25 + 32 = 57 lần, đủ để chứa trung vị. Do đó, trung vị nằm trong nhóm [0,75; 1,25). Ta tính trung vị cụ thể: \[ M_e = 0,75 + \left( \frac{44 - 25}{32} \right) \times (1,25 - 0,75) = 0,75 + \left( \frac{19}{32} \right) \times 0,5 = 0,75 + 0,296875 = 1,046875 \] Kết luận: a) Giá trị đại diện của nhóm [1,25; 1,75) là 1,5. b) Mốt của mẫu số liệu là $M_ = 0,89$. c) Nhóm chứa mốt của số liệu là [0,75; 1,25). d) Trung vị của mẫu số liệu là $M_e = 1,046875$. Câu 4. a) Ta có M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và SD. Do đó, MN song song với SC và NP song song với BD. Mặt phẳng (MNP) cắt SA tại K. Vì MN song song với SC và NP song song với BD, nên giao tuyến của (MNP) và (SCD) là đường thẳng đi qua P và song song với BD. Do đó, K cũng nằm trên đường thẳng này. Vì vậy, ta có $\frac{SK}{SA} = \frac{SP}{SD} = \frac{1}{2}$. Mệnh đề sai. b) Giao tuyến của mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng đi qua N và song song với đường thẳng BD. Vì NP song song với BD, nên giao tuyến của (MNP) và (ABCD) là đường thẳng đi qua N và song song với BD. Mệnh đề đúng. c) Hai đường thẳng MP và SC cắt nhau. Vì M là trung điểm của SB và P là trung điểm của SD, nên MP song song với BD. Vì SC không song song với BD, nên MP và SC không thể cắt nhau. Mệnh đề sai. d) Đường thẳng SA là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAC). Vì SA thuộc cả hai mặt phẳng (SAB) và (SAC), nên SA là giao tuyến của hai mặt phẳng này. Mệnh đề đúng. Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng. Câu 1. Để tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số lượng cây: Tổng số cây là 25. 2. Xác định vị trí của trung vị: Vì số lượng cây là 25 (số lẻ), trung vị sẽ nằm ở vị trí $\frac{25 + 1}{2} = 13$. 3. Xác định khoảng chứa trung vị: - Nhóm [0;10) có 4 cây. - Nhóm (10;20) có 6 cây, tổng là 4 + 6 = 10 cây. - Nhóm (20;30) có 7 cây, tổng là 10 + 7 = 17 cây. Như vậy, trung vị nằm trong nhóm (20;30). 4. Áp dụng công thức tính trung vị: Công thức trung vị cho mẫu số liệu ghép nhóm là: \[ M_e = x_l + \left( \frac{\frac{n}{2} - F_{l-1}}{f_l} \right) \times c \] Trong đó: - \(x_l\) là giới hạn dưới của nhóm chứa trung vị (ở đây là 20). - \(n\) là tổng số lượng (ở đây là 25). - \(F_{l-1}\) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa trung vị (ở đây là 10). - \(f_l\) là tần số của nhóm chứa trung vị (ở đây là 7). - \(c\) là khoảng cách của nhóm (ở đây là 10). Thay các giá trị vào công thức: \[ M_e = 20 + \left( \frac{\frac{25}{2} - 10}{7} \right) \times 10 \] \[ M_e = 20 + \left( \frac{12.5 - 10}{7} \right) \times 10 \] \[ M_e = 20 + \left( \frac{2.5}{7} \right) \times 10 \] \[ M_e = 20 + \frac{25}{7} \] \[ M_e = 20 + 3.5714 \approx 23.5714 \] Do đó, trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là \(M_e = \frac{165}{7}\). 5. Tính \(a - 5b\): Ta có \(a = 165\) và \(b = 7\). Vậy: \[ a - 5b = 165 - 5 \times 7 = 165 - 35 = 130 \] Đáp số: \(a - 5b = 130\). Câu 2. Trước tiên, ta nhận thấy rằng mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm A và M, đồng thời song song với đường thẳng SD. Do đó, mặt phẳng $(\alpha)$ sẽ cắt SB tại điểm N sao cho đoạn thẳng AN song song với SD. Ta sẽ chứng minh rằng $\frac{SN}{SB} = \frac{1}{2}$. 1. Vì ABCD là hình bình hành, nên ta có: - AB = CD - AD = BC - AB // CD - AD // BC 2. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình bình hành, nên O là trung điểm của cả AC và BD. 3. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua A và M, và song song với SD. Do đó, mặt phẳng $(\alpha)$ sẽ cắt SB tại điểm N sao cho đoạn thẳng AN song song với SD. 4. Ta có: - Vì AN // SD, nên tam giác SAN và SBD đồng dạng theo tỉ số $\frac{AN}{SD}$. - Mặt khác, vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC. 5. Xét tam giác SBD và tam giác SAN: - Tam giác SBD có đường cao hạ từ S xuống BD. - Tam giác SAN có đường cao hạ từ S xuống AN. 6. Vì AN // SD, nên tam giác SAN và SBD đồng dạng theo tỉ số $\frac{AN}{SD}$. Do đó, ta có: - $\frac{SN}{SB} = \frac{AN}{SD}$ 7. Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC. Do đó, ta có: - $\frac{BM}{BC} = \frac{1}{2}$ 8. Vì AN // SD, nên tam giác SAN và SBD đồng dạng theo tỉ số $\frac{AN}{SD}$. Do đó, ta có: - $\frac{SN}{SB} = \frac{AN}{SD} = \frac{1}{2}$ Vậy, tỉ số $\frac{SN}{SB} = \frac{1}{2}$. Đáp số: $\frac{SN}{SB} = \frac{1}{2}$. Câu 3. Phương trình dao động điều hòa của con lắc lò xo được cho là: \[ y = 25 \sin(4\pi t) \] Trong phương trình này, ta nhận thấy rằng: - Biên độ dao động \( A = 25 \) cm. - Tần số góc \( \omega = 4\pi \) rad/s. Tần số góc \( \omega \) liên quan đến tần số dao động \( f \) qua công thức: \[ \omega = 2\pi f \] Do đó, ta có thể tìm tần số dao động \( f \) bằng cách thay \( \omega \) vào công thức trên: \[ 4\pi = 2\pi f \] Chia cả hai vế cho \( 2\pi \): \[ f = \frac{4\pi}{2\pi} = 2 \text{ Hz} \] Vậy tần số dao động của con lắc lò xo là 2 Hz, tức là con lắc dao động 2 lần trong một giây. Đáp số: 2 Hz.