Giup mik vs $y=f(x)=x^3-x^2+2x+1~(C)$,BT: Cho hsố,Viết PTTT của đths biết,a) tại $M(1,1)$,b) tại $N(-1,-3)$,c) tai đ' có hđ $x_0=2$,d) tại đ' có hđộ $x^2=-2$,e) Hệ số góc của $t^2.f^\prime(x_0)=2$,f) Tại giao điểm của đt (C) với đtd: $y=2x+1$,VD3: $y=f(x)=\frac{x+3}{2x-1}~(C)$,Viết PTTT của đt (C):,a) tại đ' $M(-1;\frac{-2}3)$,b) tai đ' có hđộ $x_0=-3$,c) tại đ' có tđị $y_0=5$,d) hsg của $t^2=-7$

Question

Accepted Answer

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết và cẩn thận. Chúng ta sẽ bắt đầu từ bài toán về hàm số $y = f(x) = x^3 - x^2 + 2x + 1$ và tiếp tục với bài toán về hàm số $y = f(x) = \frac{x+3}{2x-1}$.

Phần 1: Hàm số $y = f(x) = x^3 - x^2 + 2x + 1$

a) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(1,1)$

1. Tính đạo hàm của hàm số:
   $$
   f'(x) = 3x^2 - 2x + 2
   $$
2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = 1$:
   $$
   f'(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 2 = 3 - 2 + 2 = 3
   $$
3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(1,1)$:
   $$
   y - 1 = 3(x - 1) \implies y = 3x - 2
   $$

b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $N(-1,-3)$

1. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = -1$:
   $$
   f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) + 2 = 3 + 2 + 2 = 7
   $$
2. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-1,-3)$:
   $$
   y + 3 = 7(x + 1) \implies y = 7x + 4
   $$

c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = 2$

1. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = 2$:
   $$
   f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 2 = 12 - 4 + 2 = 10
   $$
2. Tính giá trị hàm số tại điểm $x = 2$:
   $$
   f(2) = 2^3 - 2^2 + 2(2) + 1 = 8 - 4 + 4 + 1 = 9
   $$
3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(2,9)$:
   $$
   y - 9 = 10(x - 2) \implies y = 10x - 11
   $$

d) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = -2$

1. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = -2$:
   $$
   f'(-2) = 3(-2)^2 - 2(-2) + 2 = 12 + 4 + 2 = 18
   $$
2. Tính giá trị hàm số tại điểm $x = -2$:
   $$
   f(-2) = (-2)^3 - (-2)^2 + 2(-2) + 1 = -8 - 4 - 4 + 1 = -15
   $$
3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-2,-15)$:
   $$
   y + 15 = 18(x + 2) \implies y = 18x + 21
   $$

e) Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc $f'(x_0) = 2$

1. Giải phương trình $f'(x) = 2$:
   $$
   3x^2 - 2x + 2 = 2 \implies 3x^2 - 2x = 0 \implies x(3x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = \frac{2}{3}
   $$
2. Tính giá trị hàm số tại các điểm $x = 0$ và $x = \frac{2}{3}$:
   $$
   f(0) = 0^3 - 0^2 + 2(0) + 1 = 1
   $$
   $$
   f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 2\left(\frac{2}{3}\right) + 1 = \frac{8}{27} - \frac{4}{9} + \frac{4}{3} + 1 = \frac{8}{27} - \frac{12}{27} + \frac{36}{27} + \frac{27}{27} = \frac{59}{27}
   $$
3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0,1)$:
   $$
   y - 1 = 2(x - 0) \implies y = 2x + 1
   $$
4. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $\left(\frac{2}{3}, \frac{59}{27}\right)$:
   $$
   y - \frac{59}{27} = 2\left(x - \frac{2}{3}\right) \implies y = 2x + \frac{59}{27} - \frac{4}{3} = 2x + \frac{59}{27} - \frac{36}{27} = 2x + \frac{23}{27}
   $$

f) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đường thẳng $(C)$ với đường thẳng $y = 2x + 1$

1. Giải phương trình $x^3 - x^2 + 2x + 1 = 2x + 1$:
   $$
   x^3 - x^2 + 2x + 1 - 2x - 1 = 0 \implies x^3 - x^2 = 0 \implies x^2(x - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 1
   $$
2. Tính giá trị hàm số tại các điểm $x = 0$ và $x = 1$:
   $$
   f(0) = 1
   $$
   $$
   f(1) = 1
   $$
3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0,1)$:
   $$
   y - 1 = 2(x - 0) \implies y = 2x + 1
   $$
4. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(1,1)$:
   $$
   y - 1 = 3(x - 1) \implies y = 3x - 2
   $$

Phần 2: Hàm số $y = f(x) = \frac{x+3}{2x-1}$

a) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(-1,\frac{-2}{3})$

1. Tính đạo hàm của hàm số:
   $$
   f'(x) = \frac{(2x-1)\cdot 1 - (x+3)\cdot 2}{(2x-1)^2} = \frac{2x - 1 - 2x - 6}{(2x-1)^2} = \frac{-7}{(2x-1)^2}
   $$
2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = -1$:
   $$
   f'(-1) = \frac{-7}{(2(-1)-1)^2} = \frac{-7}{(-3)^2} = \frac{-7}{9}
   $$
3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-1,\frac{-2}{3})$:
   $$
   y + \frac{2}{3} = \frac{-7}{9}(x + 1) \implies y = \frac{-7}{9}x - \frac{7}{9} - \frac{2}{3} = \frac{-7}{9}x - \frac{7}{9} - \frac{6}{9} = \frac{-7}{9}x - \frac{13}{9}
   $$

b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = -3$

1. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = -3$:
   $$
   f'(-3) = \frac{-7}{(2(-3)-1)^2} = \frac{-7}{(-7)^2} = \frac{-7}{49} = \frac{-1}{7}
   $$
2. Tính giá trị hàm số tại điểm $x = -3$:
   $$
   f(-3) = \frac{-3+3}{2(-3)-1} = \frac{0}{-7} = 0
   $$
3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-3,0)$:
   $$
   y - 0 = \frac{-1}{7}(x + 3) \implies y = \frac{-1}{7}x - \frac{3}{7}
   $$

c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ $y_0 = 5$

1. Giải phương trình $\frac{x+3}{2x-1} = 5$:
   $$
   x + 3 = 5(2x - 1) \implies x + 3 = 10x - 5 \implies 3 + 5 = 10x - x \implies 8 = 9x \implies x = \frac{8}{9}
   $$
2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = \frac{8}{9}$:
   $$
   f'\left(\frac{8}{9}\right) = \frac{-7}{(2\left(\frac{8}{9}\right)-1)^2} = \frac{-7}{\left(\frac{16}{9}-1\right)^2} = \frac{-7}{\left(\frac{7}{9}\right)^2} = \frac{-7}{\frac{49}{81}} = \frac{-7 \cdot 81}{49} = \frac{-567}{49} = \frac{-81}{7}
   $$
3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $\left(\frac{8}{9}, 5\right)$:
   $$
   y - 5 = \frac{-81}{7}\left(x - \frac{8}{9}\right) \implies y = \frac{-81}{7}x + \frac{-81}{7} \cdot \frac{-8}{9} + 5 = \frac{-81}{7}x + \frac{72}{7} + 5 = \frac{-81}{7}x + \frac{72}{7} + \frac{35}{7} = \frac{-81}{7}x + \frac{107}{7}
   $$

d) Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc $f'(x_0) = -7$

1. Giải phương trình $\frac{-7}{(2x-1)^2} = -7$:
   $$
   \frac{1}{(2x-1)^2} = 1 \implies (2x-1)^2 = 1 \implies 2x-1 = 1 \text{ hoặc } 2x-1 = -1 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = 0
   $$
2. Tính giá trị hàm số tại các điểm $x = 1$ và $x = 0$:
   $$
   f(1) = \frac{1+3}{2(1)-1} = \frac{4}{1} = 4
   $$
   $$
   f(0) = \frac{0+3}{2(0)-1} = \frac{3}{-1} = -3
   $$
3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(1,4)$:
   $$
   y - 4 = -7(x - 1) \implies y = -7x + 7 + 4 = -7x + 11
   $$
4. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0,-3)$:
   $$
   y + 3 = -7(x - 0) \implies y = -7x - 3
   $$

Đáp số:
1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(1,1)$: $y = 3x - 2$
2. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $N(-1,-3)$: $y = 7x + 4$
3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = 2$: $y = 10x - 11$
4. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = -2$: $y = 18x + 21$
5. Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc $f'(x_0) = 2$: $y = 2x + 1$ và $y = 2x + \frac{23}{27}$
6. Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đường thẳng $(C)$ với đường thẳng $y = 2x + 1$: $y = 2x + 1$ và $y = 3x - 2$
7. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(-1,\frac{-2}{3})$: $y = \frac{-7}{9}x - \frac{13}{9}$
8. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = -3$: $y = \frac{-1}{7}x - \frac{3}{7}$
9. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ $y_0 = 5$: $y = \frac{-81}{7}x + \frac{107}{7}$
10. Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc $f'(x_0) = -7$: $y = -7x + 11$ và $y = -7x - 3$