Giup mik vs BT: $Tho~hsố~y=f(x)=x^3-x^2+2x+1~(C)$,Viết PTTT của đths biết,a) tại $M(1,1)$,b) tại $N(-1,-3)$,c) tại đ' có hđ $x_0=2$,d) tại đ' có hđộ $x^2=-2$,e) Hệ số góc của $t^2.f^\prime(x_0)=2$,f) Tại giao điểm của đt (C) với đtd: $y=2x+1$,VD3: $y=f(x)=\frac{x+3}{2x-1}~(C)$,Viết PTTT của đt (C):,a) tại đ' $M(-1,\frac{-2}3)$,b) tai đ' có hđộ $x_0=-3$,c) tại đ' có tđị $y_0=5$,d) hsg của $t^2=-7$

Question

Accepted Answer

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp và kiến thức đã học trong chương trình lớp 11. Dưới đây là các bước chi tiết để giải từng phần của bài toán.

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = x^3 - x^2 + 2x + 1$ (C)

a) Tại điểm $M(1,1)$

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   f'(x) = 3x^2 - 2x + 2
   $$

2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = 1$:
   $$
   f'(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 2 = 3 - 2 + 2 = 3
   $$

3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(1,1)$:
   $$
   y - 1 = 3(x - 1)
   $$
   $$
   y = 3x - 3 + 1
   $$
   $$
   y = 3x - 2
   $$

b) Tại điểm $N(-1,-3)$

1. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = -1$:
   $$
   f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) + 2 = 3 + 2 + 2 = 7
   $$

2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $N(-1,-3)$:
   $$
   y + 3 = 7(x + 1)
   $$
   $$
   y = 7x + 7 - 3
   $$
   $$
   y = 7x + 4
   $$

c) Tại điểm có hoành độ $x_0 = 2$

1. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = 2$:
   $$
   f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 2 = 12 - 4 + 2 = 10
   $$

2. Tính giá trị hàm số tại điểm $x = 2$:
   $$
   f(2) = (2)^3 - (2)^2 + 2(2) + 1 = 8 - 4 + 4 + 1 = 9
   $$

3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $(2, 9)$:
   $$
   y - 9 = 10(x - 2)
   $$
   $$
   y = 10x - 20 + 9
   $$
   $$
   y = 10x - 11
   $$

d) Tại điểm có hoành độ $x_0 = -2$

1. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = -2$:
   $$
   f'(-2) = 3(-2)^2 - 2(-2) + 2 = 12 + 4 + 2 = 18
   $$

2. Tính giá trị hàm số tại điểm $x = -2$:
   $$
   f(-2) = (-2)^3 - (-2)^2 + 2(-2) + 1 = -8 - 4 - 4 + 1 = -15
   $$

3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-2, -15)$:
   $$
   y + 15 = 18(x + 2)
   $$
   $$
   y = 18x + 36 - 15
   $$
   $$
   y = 18x + 21
   $$

e) Hệ số góc của tiếp tuyến là $f'(x_0) = 2$

1. Tìm giá trị của $x_0$ sao cho $f'(x_0) = 2$:
   $$
   3x_0^2 - 2x_0 + 2 = 2
   $$
   $$
   3x_0^2 - 2x_0 = 0
   $$
   $$
   x_0(3x_0 - 2) = 0
   $$
   $$
   x_0 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x_0 = \frac{2}{3}
   $$

2. Tính giá trị hàm số tại các điểm $x_0 = 0$ và $x_0 = \frac{2}{3}$:
   $$
   f(0) = 0^3 - 0^2 + 2(0) + 1 = 1
   $$
   $$
   f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 2\left(\frac{2}{3}\right) + 1 = \frac{8}{27} - \frac{4}{9} + \frac{4}{3} + 1 = \frac{8}{27} - \frac{12}{27} + \frac{36}{27} + \frac{27}{27} = \frac{59}{27}
   $$

3. Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm $(0, 1)$ và $\left(\frac{2}{3}, \frac{59}{27}\right)$:
   $$
   y - 1 = 2(x - 0) \quad \Rightarrow \quad y = 2x + 1
   $$
   $$
   y - \frac{59}{27} = 2\left(x - \frac{2}{3}\right) \quad \Rightarrow \quad y = 2x - \frac{4}{3} + \frac{59}{27} = 2x - \frac{36}{27} + \frac{59}{27} = 2x + \frac{23}{27}
   $$

f) Tại giao điểm của đường thẳng (C) với đường thẳng $y = 2x + 1$

1. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
   $$
   x^3 - x^2 + 2x + 1 = 2x + 1
   $$
   $$
   x^3 - x^2 = 0
   $$
   $$
   x^2(x - 1) = 0
   $$
   $$
   x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1
   $$

2. Tính giá trị hàm số tại các điểm $x = 0$ và $x = 1$:
   $$
   f(0) = 1
   $$
   $$
   f(1) = 1
   $$

3. Tính giá trị đạo hàm tại các điểm $x = 0$ và $x = 1$:
   $$
   f'(0) = 2
   $$
   $$
   f'(1) = 3
   $$

4. Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm $(0, 1)$ và $(1, 1)$:
   $$
   y - 1 = 2(x - 0) \quad \Rightarrow \quad y = 2x + 1
   $$
   $$
   y - 1 = 3(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y = 3x - 2
   $$

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{x + 3}{2x - 1}$ (C)

a) Tại điểm $M(-1, \frac{-2}{3})$

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   f'(x) = \frac{(2x - 1) - 2(x + 3)}{(2x - 1)^2} = \frac{2x - 1 - 2x - 6}{(2x - 1)^2} = \frac{-7}{(2x - 1)^2}
   $$

2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = -1$:
   $$
   f'(-1) = \frac{-7}{(2(-1) - 1)^2} = \frac{-7}{(-3)^2} = \frac{-7}{9}
   $$

3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(-1, \frac{-2}{3})$:
   $$
   y + \frac{2}{3} = \frac{-7}{9}(x + 1)
   $$
   $$
   y = \frac{-7}{9}x - \frac{7}{9} - \frac{2}{3}
   $$
   $$
   y = \frac{-7}{9}x - \frac{7}{9} - \frac{6}{9}
   $$
   $$
   y = \frac{-7}{9}x - \frac{13}{9}
   $$

b) Tại điểm có hoành độ $x_0 = -3$

1. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = -3$:
   $$
   f'(-3) = \frac{-7}{(2(-3) - 1)^2} = \frac{-7}{(-7)^2} = \frac{-7}{49} = \frac{-1}{7}
   $$

2. Tính giá trị hàm số tại điểm $x = -3$:
   $$
   f(-3) = \frac{-3 + 3}{2(-3) - 1} = \frac{0}{-7} = 0
   $$

3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-3, 0)$:
   $$
   y - 0 = \frac{-1}{7}(x + 3)
   $$
   $$
   y = \frac{-1}{7}x - \frac{3}{7}
   $$

c) Tại điểm có tung độ $y_0 = 5$

1. Tìm giá trị của $x_0$ sao cho $f(x_0) = 5$:
   $$
   \frac{x_0 + 3}{2x_0 - 1} = 5
   $$
   $$
   x_0 + 3 = 5(2x_0 - 1)
   $$
   $$
   x_0 + 3 = 10x_0 - 5
   $$
   $$
   3 + 5 = 10x_0 - x_0
   $$
   $$
   8 = 9x_0
   $$
   $$
   x_0 = \frac{8}{9}
   $$

2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = \frac{8}{9}$:
   $$
   f'\left(\frac{8}{9}\right) = \frac{-7}{\left(2\left(\frac{8}{9}\right) - 1\right)^2} = \frac{-7}{\left(\frac{16}{9} - 1\right)^2} = \frac{-7}{\left(\frac{7}{9}\right)^2} = \frac{-7}{\frac{49}{81}} = \frac{-7 \cdot 81}{49} = \frac{-567}{49} = \frac{-81}{7}
   $$

3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $\left(\frac{8}{9}, 5\right)$:
   $$
   y - 5 = \frac{-81}{7}\left(x - \frac{8}{9}\right)
   $$
   $$
   y = \frac{-81}{7}x + \frac{-81}{7} \cdot \frac{8}{9} + 5
   $$
   $$
   y = \frac{-81}{7}x - \frac{648}{63} + 5
   $$
   $$
   y = \frac{-81}{7}x - \frac{648}{63} + \frac{315}{63}
   $$
   $$
   y = \frac{-81}{7}x - \frac{333}{63}
   $$
   $$
   y = \frac{-81}{7}x - \frac{111}{21}
   $$

d) Hệ số góc của tiếp tuyến là $-7$

1. Tìm giá trị của $x_0$ sao cho $f'(x_0) = -7$:
   $$
   \frac{-7}{(2x_0 - 1)^2} = -7
   $$
   $$
   \frac{1}{(2x_0 - 1)^2} = 1
   $$
   $$
   (2x_0 - 1)^2 = 1
   $$
   $$
   2x_0 - 1 = 1 \quad \text{hoặc} \quad 2x_0 - 1 = -1
   $$
   $$
   2x_0 = 2 \quad \text{hoặc} \quad 2x_0 = 0
   $$
   $$
   x_0 = 1 \quad \text{hoặc} \quad x_0 = 0
   $$

2. Tính giá trị hàm số tại các điểm $x_0 = 1$ và $x_0 = 0$:
   $$
   f(1) = \frac{1 + 3}{2(1) - 1} = \frac{4}{1} = 4
   $$
   $$
   f(0) = \frac{0 + 3}{2(0) - 1} = \frac{3}{-1} = -3
   $$

3. Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm $(1, 4)$ và $(0, -3)$:
   $$
   y - 4 = -7(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y = -7x + 7 + 4 \quad \Rightarrow \quad y = -7x + 11
   $$
   $$
   y + 3 = -7(x - 0) \quad \Rightarrow \quad y = -7x - 3
   $$

Kết luận:
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = x^3 - x^2 + 2x + 1$ tại các điểm đã cho là:
  - Tại điểm $M(1,1)$: $y = 3x - 2$
  - Tại điểm $N(-1,-3)$: $y = 7x + 4$
  - Tại điểm có hoành độ $x_0 = 2$: $y = 10x - 11$
  - Tại điểm có hoành độ $x_0 = -2$: $y = 18x + 21$
  - Tại điểm có hệ số góc $f'(x_0) = 2$: $y = 2x + 1$ và $y = 2x + \frac{23}{27}$
  - Tại giao điểm của đường thẳng (C) với đường thẳng $y = 2x + 1$: $y = 2x + 1$ và $y = 3x - 2$

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{x + 3}{2x - 1}$ tại các điểm đã cho là:
  - Tại điểm $M(-1, \frac{-2}{3})$: $y = \frac{-7}{9}x - \frac{13}{9}$
  - Tại điểm có hoành độ $x_0 = -3$: $y = \frac{-1}{7}x - \frac{3}{7}$
  - Tại điểm có tung độ $y_0 = 5$: $y = \frac{-81}{7}x - \frac{111}{21}$
  - Tại điểm có hệ số góc $-7$: $y = -7x + 11$ và $y = -7x - 3$