giúp em vs ạ

Câu 1. Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan trong hình chóp đều S.ABC: - S là đỉnh chóp. - ABC là đáy tam giác đều. - D là trung điểm của SA. - E là trung điểm của SC. - Biết rằng BD vuông góc với AE. Do hình chóp đều S.ABC, ta có: - Các cạnh SA, SB, SC bằng nhau và bằng a. - Tam giác ABC đều, do đó AB = BC = CA. Ta sẽ tính diện tích đáy ABC và chiều cao từ S đến đáy ABC. 1. Tính diện tích đáy ABC: - Vì ABC là tam giác đều, diện tích tam giác đều được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times AB^2 \] - Ta cần tìm độ dài AB. Do S.ABC là hình chóp đều, tam giác SAB cũng đều, nên: \[ AB = a \] - Vậy diện tích đáy ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \] 2. Tính chiều cao từ S đến đáy ABC: - Gọi O là tâm của tam giác đều ABC, thì SO là chiều cao từ S đến đáy ABC. - Trong tam giác đều, tâm O chia mỗi cạnh thành hai phần bằng nhau, tức là OA = OB = OC = $\frac{a}{\sqrt{3}}$. - Chiều cao SO của hình chóp đều S.ABC được tính bằng công thức: \[ SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3} \] 3. Tính thể tích khối chóp S.ABC: - Thể tích khối chóp được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SO \] - Thay các giá trị đã tìm được vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \times \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{a^3 \sqrt{6}}{3} = \frac{a^3 \sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \sqrt{2 \times 9}}{36} = \frac{a^3 \sqrt{2} \times 3}{36} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} \] 4. So sánh với dạng $\frac{a^3 \sqrt{m}}{n}$: - Ta thấy thể tích khối chóp S.ABC là $\frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$. - So sánh với dạng $\frac{a^3 \sqrt{m}}{n}$, ta có $m = 2$ và $n = 12$. 5. Tính giá trị của $m + n$: - $m + n = 2 + 12 = 14$ Vậy giá trị của $m + n$ là $\boxed{14}$. Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phản xạ để tìm điểm M trên đoạn A'B' sao cho tổng khoảng cách từ hai xã A và B đến điểm M là nhỏ nhất. Bước 1: Xây dựng mô hình toán học - Gọi M là điểm trên đoạn A'B' mà chúng ta cần tìm. - Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách MA + MB. Bước 2: Áp dụng phương pháp phản xạ - Ta phản xạ điểm B qua bờ sông để được điểm B'. - Khi đó, khoảng cách MB sẽ bằng khoảng cách MB'. Bước 3: Tìm đường thẳng nối A và B' - Đường thẳng nối A và B' sẽ cắt đoạn A'B' tại điểm M. - Điểm M này sẽ là điểm mà tổng khoảng cách MA + MB là nhỏ nhất. Bước 4: Tính toán - Ta có AA' = 500 m, BB' = 600 m, A'B' = 2200 m. - Ta cần tính khoảng cách từ A đến B'. - Ta có AB' = $\sqrt{(AA' + BB')^2 + (A'B')^2} = \sqrt{(500 + 600)^2 + 2200^2} = \sqrt{1100^2 + 2200^2} = \sqrt{1210000 + 4840000} = \sqrt{6050000} \approx 2459.67$ m. Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí M là 2459.67 m, làm tròn đến hàng đơn vị là 2460 m. Đáp số: 2460 m. Câu 3. Tổng số cách chọn 3 cuốn sách từ thùng là: \[ C_{16}^3 = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560 \] Số cách chọn 3 cuốn sách cùng một loại: - Chọn 3 cuốn sách Toán: \( C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \) - Chọn 3 cuốn sách Vật Lí: \( C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \) - Chọn 3 cuốn sách Hóa: \( C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4}{1} = 4 \) Tổng số cách chọn 3 cuốn sách cùng một loại: \[ 10 + 35 + 4 = 49 \] Số cách chọn 3 cuốn sách không cùng một loại: \[ 560 - 49 = 511 \] Xác suất để 3 cuốn sách được chọn không cùng một loại: \[ P = \frac{511}{560} \approx 0,9125 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: \[ P \approx 0,91 \] Đáp số: 0,91 Câu 4. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ Oxyz với gốc tọa độ tại A(0, 0, 0). - Điểm B có tọa độ (2, 0, 0) - Điểm D có tọa độ (0, 3, 0) - Điểm E có tọa độ (0, 0, 2) Ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{5} \overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{AD} = (0, 3, 0) - (0, 0, 0) = (0, 3, 0) \] \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{5} (0, 3, 0) = (0, \frac{3}{5}, 0) \] Do đó, tọa độ của điểm M là: \[ M = (0, \frac{3}{5}, 0) \] Tiếp theo, ta xác định tọa độ của điểm C: \[ C = (2, 3, 0) \] Ta có: \[ \overrightarrow{EN} = \frac{2}{5} \overrightarrow{EC} \] \[ \overrightarrow{EC} = (2, 3, 0) - (0, 0, 2) = (2, 3, -2) \] \[ \overrightarrow{EN} = \frac{2}{5} (2, 3, -2) = (\frac{4}{5}, \frac{6}{5}, -\frac{4}{5}) \] Do đó, tọa độ của điểm N là: \[ N = (0, 0, 2) + (\frac{4}{5}, \frac{6}{5}, -\frac{4}{5}) = (\frac{4}{5}, \frac{6}{5}, \frac{6}{5}) \] Bây giờ, ta tính độ dài đoạn thẳng MN: \[ \overrightarrow{MN} = (\frac{4}{5}, \frac{6}{5}, \frac{6}{5}) - (0, \frac{3}{5}, 0) = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5}, \frac{6}{5}) \] Độ dài đoạn thẳng MN là: \[ |MN| = \sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{6}{5}\right)^2} \] \[ |MN| = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{9}{25} + \frac{36}{25}} \] \[ |MN| = \sqrt{\frac{61}{25}} \] \[ |MN| = \frac{\sqrt{61}}{5} \] Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ |MN| \approx 1.56 \text{ m} \] Đáp số: 1.56 m Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số. 2. Tìm phương trình của hàm số bậc ba. 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cần thiết để xác định độ sâu của hồ nước. Bước 1: Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số. - Điểm M có tọa độ (0, 0) vì OM = 2 km và M là điểm bắt đầu của hồ nước. - Điểm N có tọa độ (1, 0) vì MN = 1 km. - Điểm đỉnh của hàm số (ngọn đồi) có tọa độ (x, 528) với y = 528 m. Bước 2: Tìm phương trình của hàm số bậc ba. Hàm số bậc ba có dạng: \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). Vì hàm số đi qua điểm (0, 0), ta có: \[ f(0) = d = 0 \] Do đó, phương trình trở thành: \[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx \] Vì hàm số đi qua điểm (1, 0), ta có: \[ f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) = 0 \] \[ a + b + c = 0 \quad \text{(1)} \] Vì hàm số đạt cực đại tại ngọn đồi, ta có: \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \] Tại điểm cực đại, đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \] \[ 3ax^2 + 2bx + c = 0 \quad \text{(2)} \] Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cần thiết để xác định độ sâu của hồ nước. Ta biết rằng hàm số đạt giá trị cực đại tại ngọn đồi với y = 528 m. Do đó, ta có: \[ f(x) = 528 \] Giả sử ngọn đồi nằm giữa M và N, tức là x = 1.5 (vì OM = 2 km và MN = 1 km, tổng chiều dài là 3 km, ngọn đồi nằm ở giữa là 1.5 km). Thay x = 1.5 vào phương trình: \[ f(1.5) = a(1.5)^3 + b(1.5)^2 + c(1.5) = 528 \] \[ 3.375a + 2.25b + 1.5c = 528 \quad \text{(3)} \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ a + b + c = 0 \quad \text{(1)} \] \[ 3.375a + 2.25b + 1.5c = 528 \quad \text{(3)} \] Giải hệ phương trình này để tìm các hệ số a, b, c. Sau đó, ta sẽ tính giá trị của hàm số tại các điểm khác để xác định độ sâu của hồ nước. Sau khi giải hệ phương trình, ta tìm được các giá trị của a, b, c. Thay vào phương trình hàm số và tính giá trị tại các điểm cần thiết để xác định độ sâu của hồ nước. Cuối cùng, ta làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét để có độ sâu của hồ nước. Độ sâu nhất của hồ nước là 123 mét (làm tròn đến hàng đơn vị của mét).