giải giúp tao

Bài 1: a) $\overrightarrow{a} = -\overrightarrow{e_1} + 2\overrightarrow{e_3}$ Tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là (-1, 0, 2). b) $\overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{e_1} - \overrightarrow{e_2}$ Tọa độ của $\overrightarrow{b}$ là (2, -1, 0). c) $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{e_1} - 7\overrightarrow{e_2} + 3\overrightarrow{e_3}$ Tọa độ của $\overrightarrow{c}$ là (2, -7, 3). d) $\overrightarrow{d} = \frac{1}{2}\overrightarrow{e_2} - 2\overrightarrow{e_3}$ Tọa độ của $\overrightarrow{d}$ là (0, $\frac{1}{2}$, -2). e) $\overrightarrow{e} = -\frac{3}{2}\overrightarrow{e_1}$ Tọa độ của $\overrightarrow{e}$ là (-$\frac{3}{2}$, 0, 0). f) $\overrightarrow{f} = 4,5\overrightarrow{e_3}$ Tọa độ của $\overrightarrow{f}$ là (0, 0, 4,5). Bài 2: a) $\overrightarrow{u} = \sqrt{2}\overrightarrow{i} + 1\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ b) $\overrightarrow{v} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} + \frac{6}{5}\overrightarrow{k}$ c) $\overrightarrow{m} = \frac{1}{2}\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} + \pi\overrightarrow{k}$ d) $\overrightarrow{p} = 0\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 5\overrightarrow{k}$ e) $\overrightarrow{a} = 0\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} - 2\overrightarrow{k}$ Bài 3: a/ Tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow x=4\overrightarrow a-\frac13\overrightarrow b+\overrightarrow{3c}.$ Tọa độ của vectơ $\overrightarrow x$ là: $\overrightarrow x=4(2;-5;3)-\frac13(0;2;-1)+3(1;7;2)=(8;-20;12)-(0;\frac23;-\frac13)+(3;21;6)=(11;\frac{31}{3};18)$ b/ Cho biết $M(-1;2;3);$ hãy tìm tọa độ các điểm A, B, C sao cho: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow a;\overrightarrow{MB}=\overrightarrow b;\overrightarrow{MC}=\overrightarrow c$. Gọi tọa độ của các điểm A, B, C lần lượt là $(x_A;y_A;z_A);(x_B;y_B;z_B);(x_C;y_C;z_C)$. Ta có: $\overrightarrow{MA}=(x_A+1;y_A-2;z_A-3)=\overrightarrow a=(2;-5;3)\Rightarrow x_A=1;y_A=-3;z_A=6$ $\overrightarrow{MB}=(x_B+1;y_B-2;z_B-3)=\overrightarrow b=(0;2;-1)\Rightarrow x_B=-1;y_B=4;z_B=2$ $\overrightarrow{MC}=(x_C+1;y_C-2;z_C-3)=\overrightarrow c=(1;7;2)\Rightarrow x_C=0;y_C=9;z_C=5$ Vậy tọa độ của các điểm A, B, C lần lượt là $(1;-3;6);(-1;4;2);(0;9;5)$. Bài 4: a) Ta có: \[ \overrightarrow{x} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0} \] Suy ra: \[ \overrightarrow{x} = -\overrightarrow{b} \] Với \(\overrightarrow{b} = (1; -2; 1)\), ta có: \[ \overrightarrow{x} = (-1; 2; -1) \] b) Ta có: \[ 2\overrightarrow{x} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \] Suy ra: \[ 2\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \] Với \(\overrightarrow{a} = (5; 4; -1)\) và \(\overrightarrow{b} = (2; -5; 3)\), ta tính: \[ \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = (2 - 5; -5 - 4; 3 - (-1)) = (-3; -9; 4) \] Do đó: \[ 2\overrightarrow{x} = (-3; -9; 4) \] Suy ra: \[ \overrightarrow{x} = \left( \frac{-3}{2}; \frac{-9}{2}; \frac{4}{2} \right) = \left( -\frac{3}{2}; -\frac{9}{2}; 2 \right) \] c) Ta có: \[ 2\overrightarrow{x} - \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} + \overrightarrow{b} \] Suy ra: \[ 2\overrightarrow{x} - \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \] \[ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \] Với \(\overrightarrow{a} = (5; 6; 0)\) và \(\overrightarrow{b} = (-3; 4; -1)\), ta tính: \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (5 + (-3); 6 + 4; 0 + (-1)) = (2; 10; -1) \] Do đó: \[ \overrightarrow{x} = (2; 10; -1) \] Đáp số: a) \(\overrightarrow{x} = (-1; 2; -1)\) b) \(\overrightarrow{x} = \left( -\frac{3}{2}; -\frac{9}{2}; 2 \right)\) c) \(\overrightarrow{x} = (2; 10; -1)\) Bài 7: a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của $\Delta ABC.$ Tọa độ trọng tâm G của $\Delta ABC$ là: $G(\frac{0+1-1}{3};\frac{2+1+2}{3};\frac{-1+3-2}{3})$ hay $G(0;\frac{5}{3};0)$ b/ Tính diện tích $\Delta ABC.$ Ta có: $\overrightarrow{AB}=(1;-1;4)$ $\overrightarrow{AC}=(-1;0;-1)$ $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-1;3;1)$ Diện tích $\Delta ABC$ là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}+1^{2}}=\frac{\sqrt{11}}{2}$ Bài 8: a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp: - Ta có $\overrightarrow{AB} = (2 - 1; 1 - 0; 2 - 1) = (1; 1; 1)$ - Ta cũng có $\overrightarrow{AD} = (1 - 1; -1 - 0; 1 - 1) = (0; -1; 0)$ - Vì $C'$ là đỉnh đối diện với $A$, nên $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{BD'}$. - Ta tính $\overrightarrow{BD'}$: \[ \overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD'} \] \[ \overrightarrow{BC'} = (4 - 2; 5 - 1; -5 - 2) = (2; 4; -7) \] \[ \overrightarrow{CD'} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} \] \[ \overrightarrow{CB} = (2 - 4; 1 - 5; 2 + 5) = (-2; -4; 7) \] \[ \overrightarrow{BD} = (1 - 2; -1 - 1; 1 - 2) = (-1; -2; -1) \] \[ \overrightarrow{CD'} = (-2; -4; 7) + (-1; -2; -1) = (-3; -6; 6) \] \[ \overrightarrow{BD'} = (2; 4; -7) + (-3; -6; 6) = (-1; -2; -1) \] - Do đó, $\overrightarrow{AC'} = (-1; -2; -1)$, suy ra tọa độ của $C'$ là $(4; 5; -5)$. - Tọa độ của $A'$ là $(1; 0; 1) + (-1; -2; -1) = (0; -2; 0)$. - Tọa độ của $B'$ là $(2; 1; 2) + (-1; -2; -1) = (1; -1; 1)$. - Tọa độ của $D'$ là $(1; -1; 1) + (-1; -2; -1) = (0; -3; 0)$. b/ Tìm tọa độ tâm của các mặt ABCD và ABB'A' của hình hộp đó: - Tâm của mặt ABCD là trung điểm của đường chéo AC hoặc BD. \[ \text{Tâm của mặt ABCD} = \left(\frac{1+4}{2}; \frac{0+5}{2}; \frac{1-5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}; \frac{5}{2}; -2\right) \] - Tâm của mặt ABB'A' là trung điểm của đường chéo AB hoặc A'B'. \[ \text{Tâm của mặt ABB'A'} = \left(\frac{1+2}{2}; \frac{0+1}{2}; \frac{1+2}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right) \] Đáp số: a/ Các đỉnh còn lại của hình hộp là: $A'(0; -2; 0)$, $B'(1; -1; 1)$, $D'(0; -3; 0)$. b/ Tâm của các mặt ABCD và ABB'A' lần lượt là $\left(\frac{5}{2}; \frac{5}{2}; -2\right)$ và $\left(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right)$. Bài 9: Để kiểm tra xem ba điểm \( A, B, C \) có thẳng hàng hay không, ta cần kiểm tra xem vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) có cùng phương hay không. 1. Tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0-1, 1-3, 2-1) = (-1, -2, 1) \] 2. Tính vectơ \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (0-1, 0-3, 1-1) = (-1, -3, 0) \] Kiểm tra xem \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) có cùng phương: \[ \frac{-1}{-1} = 1, \quad \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}, \quad \frac{1}{0} \text{ (không xác định)} \] Do đó, \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) không cùng phương, vậy ba điểm \( A, B, C \) không thẳng hàng. Tiếp theo, ta kiểm tra bộ điểm \( A', B', C' \): 1. Tính vectơ \( \overrightarrow{A'B'} \): \[ \overrightarrow{A'B'} = B' - A' = (-4-1, 3-1, 1-1) = (-5, 2, 0) \] 2. Tính vectơ \( \overrightarrow{A'C'} \): \[ \overrightarrow{A'C'} = C' - A' = (-9-1, 5-1, 1-1) = (-10, 4, 0) \] Kiểm tra xem \( \overrightarrow{A'B'} \) và \( \overrightarrow{A'C'} \) có cùng phương: \[ \frac{-10}{-5} = 2, \quad \frac{4}{2} = 2, \quad \frac{0}{0} \text{ (không xác định)} \] Do đó, \( \overrightarrow{A'B'} \) và \( \overrightarrow{A'C'} \) cùng phương, vậy ba điểm \( A', B', C' \) thẳng hàng. Kết luận: Bộ điểm \( A'(1;1;1), B'(-4;3;1), C'(-9;5;1) \) có ba điểm thẳng hàng. Bài 10: a/ Tọa độ của vectơ tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ là: $\overrightarrow a\times \overrightarrow b=\left(0+24;-(-15-12);-12-0\right)=(24;27;-12)$ b/ Tọa độ của vectơ tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ là: $\overrightarrow a\times \overrightarrow b=\left(25-6;-(5-8);3+20\right)=(19;3;23)$ c/ Tọa độ của vectơ tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ là: $\overrightarrow a\times \overrightarrow b=\left(-3-2;-(0-\sqrt6);\sqrt2-0\right)=(-5;\sqrt6;\sqrt2)$ d/ Tọa độ của vectơ tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ là: $\overrightarrow a\times \overrightarrow b=\left(-1-0;-(2-0);1-0\right)=(-1;-2;1)$ e/ Tọa độ của vectơ tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ là: $\overrightarrow a\times \overrightarrow b=\left(6+4;-(8-8);-4-3\right)=(10;0;-7)$ Bài 11: Để tính khoảng cách giữa hai điểm \( A \) và \( B \) trong không gian, ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \): \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Ta sẽ áp dụng công thức này vào từng trường hợp cụ thể: Trường hợp a: - Điểm \( A(4, -1, 1) \) - Điểm \( B(2, 1, 0) \) Áp dụng công thức khoảng cách: \[ AB = \sqrt{(2 - 4)^2 + (1 - (-1))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] Trường hợp b: - Điểm \( A(2, 3, 4) \) - Điểm \( B(6, 0, 4) \) Áp dụng công thức khoảng cách: \[ AB = \sqrt{(6 - 2)^2 + (0 - 3)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2 + (0)^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5 \] Trường hợp c: - Điểm \( A(\sqrt{2}, 1, 0) \) - Điểm \( B(1, \sqrt{2}, 1) \) Áp dụng công thức khoảng cách: \[ AB = \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2 + (\sqrt{2} - 1)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2 + (\sqrt{2} - 1)^2 + 1^2} = \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2 + (1 - \sqrt{2})^2 + 1} = \sqrt{2(1 - \sqrt{2})^2 + 1} = \sqrt{2(1 - 2\sqrt{2} + 2) + 1} = \sqrt{2(3 - 2\sqrt{2}) + 1} = \sqrt{6 - 4\sqrt{2} + 1} = \sqrt{7 - 4\sqrt{2}} \] Vậy, khoảng cách giữa các cặp điểm là: a) \( AB = 3 \) b) \( AB = 5 \) c) \( AB = \sqrt{7 - 4\sqrt{2}} \) Bài 12: Để tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, ta sử dụng công thức: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Trong đó: - $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ là tích vô hướng của hai vectơ. - $|\overrightarrow{a}|$ và $|\overrightarrow{b}|$ là độ dài của hai vectơ. Trường hợp a: $\overrightarrow{a} = (4; 3; 1)$ và $\overrightarrow{b} = (-1; 2; 3)$ 1. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 \times (-1) + 3 \times 2 + 1 \times 3 = -4 + 6 + 3 = 5 \] 2. Tính độ dài của $\overrightarrow{a}$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26} \] 3. Tính độ dài của $\overrightarrow{b}$: \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \] 4. Tính $\cos(\theta)$: \[ \cos(\theta) = \frac{5}{\sqrt{26} \times \sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{364}} = \frac{5}{2\sqrt{91}} \] 5. Tính góc $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1}\left( \frac{5}{2\sqrt{91}} \right) \] Trường hợp b: $\overrightarrow{a} = (2; 4; 5)$ và $\overrightarrow{b} = (6; 0; -3)$ 1. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \times 6 + 4 \times 0 + 5 \times (-3) = 12 + 0 - 15 = -3 \] 2. Tính độ dài của $\overrightarrow{a}$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 16 + 25} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] 3. Tính độ dài của $\overrightarrow{b}$: \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{6^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 0 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] 4. Tính $\cos(\theta)$: \[ \cos(\theta) = \frac{-3}{3\sqrt{5} \times 3\sqrt{5}} = \frac{-3}{45} = -\frac{1}{15} \] 5. Tính góc $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1}\left( -\frac{1}{15} \right) \] Kết luận: - Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong trường hợp a là $\theta = \cos^{-1}\left( \frac{5}{2\sqrt{91}} \right)$. - Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong trường hợp b là $\theta = \cos^{-1}\left( -\frac{1}{15} \right)$. Bài 13: a/ Tính các góc của $\Delta ABC.$ Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-1;0;1)$ $\overrightarrow{AC}=(1;1;1)$ $\overrightarrow{BC}=(2;1;0)$ Từ đó ta tính được: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2}$ $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{3}$ $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{5}$ Ta có: $\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\times |\overrightarrow{AC}|}=\frac{-1+0+1}{\sqrt{2}\times \sqrt{3}}=0$ $\Rightarrow A=90^{\circ}$ $\cos B=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\times |\overrightarrow{BC}|}=\frac{2+0+0}{\sqrt{2}\times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$ $\Rightarrow B\simeq 36^{\circ}16'24''$ $\Rightarrow C=90^{\circ}-36^{\circ}16'24''=53^{\circ}43'36''$ b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của $\Delta ABC.$ Trọng tâm G của $\Delta ABC$ có tọa độ là: $G(\frac{1+0+2}{3};\frac{0+0+1}{3};\frac{0+1+1}{3})$ $G(\frac{3}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3})$ $G(1;\frac{1}{3};\frac{2}{3})$ c/ Tính chu vi và diện tích tam giác đó. Vì $\Delta ABC$ là tam giác vuông tại A nên: Chu vi của $\Delta ABC$ là: $P_{ABC}=AB+AC+BC=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ Diện tích của $\Delta ABC$ là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times AC=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ Bài 14: Để tìm điểm \( M \) trên trục \( Oy \), ta giả sử tọa độ của \( M \) là \( (0, y, 0) \). Bước 1: Tính khoảng cách từ \( M \) đến \( A \): \[ MA = \sqrt{(0 - 3)^2 + (y - 1)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{9 + (y - 1)^2} \] Bước 2: Tính khoảng cách từ \( M \) đến \( B \): \[ MB = \sqrt{(0 + 2)^2 + (y - 4)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{4 + (y - 4)^2 + 1} = \sqrt{5 + (y - 4)^2} \] Bước 3: Vì \( M \) cách đều hai điểm \( A \) và \( B \), ta có: \[ MA = MB \] \[ \sqrt{9 + (y - 1)^2} = \sqrt{5 + (y - 4)^2} \] Bước 4: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ 9 + (y - 1)^2 = 5 + (y - 4)^2 \] Bước 5: Mở rộng các bình phương: \[ 9 + y^2 - 2y + 1 = 5 + y^2 - 8y + 16 \] Bước 6: Thu gọn và giải phương trình: \[ 10 + y^2 - 2y = 21 + y^2 - 8y \] \[ 10 - 2y = 21 - 8y \] \[ 6y = 11 \] \[ y = \frac{11}{6} \] Vậy tọa độ của điểm \( M \) là \( \left(0, \frac{11}{6}, 0\right) \). Đáp số: \( M \left(0, \frac{11}{6}, 0\right) \). Bài 15: Để tìm điểm \( M \) trên mặt phẳng \( Oxy \) cách đều ba điểm \( A(1,1,1) \), \( B(-1,1,0) \), và \( C(3,1,-1) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm \( M \): Vì điểm \( M \) nằm trên mặt phẳng \( Oxy \), tọa độ của nó sẽ có dạng \( M(x, y, 0) \). 2. Tính khoảng cách từ \( M \) đến các điểm \( A \), \( B \), và \( C \): - Khoảng cách từ \( M \) đến \( A \): \[ MA = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2 + 1} \] - Khoảng cách từ \( M \) đến \( B \): \[ MB = \sqrt{(x+1)^2 + (y-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(x+1)^2 + (y-1)^2} \] - Khoảng cách từ \( M \) đến \( C \): \[ MC = \sqrt{(x-3)^2 + (y-1)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + (y-1)^2 + 1} \] 3. Lập phương trình để \( M \) cách đều ba điểm: Ta có: \[ MA = MB \quad \text{và} \quad MA = MC \] Từ \( MA = MB \): \[ \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2 + 1} = \sqrt{(x+1)^2 + (y-1)^2} \] Bình phương cả hai vế: \[ (x-1)^2 + (y-1)^2 + 1 = (x+1)^2 + (y-1)^2 \] Rút gọn: \[ (x-1)^2 + 1 = (x+1)^2 \] \[ x^2 - 2x + 1 + 1 = x^2 + 2x + 1 \] \[ -2x + 2 = 2x \] \[ 4x = 2 \] \[ x = \frac{1}{2} \] Từ \( MA = MC \): \[ \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2 + 1} = \sqrt{(x-3)^2 + (y-1)^2 + 1} \] Bình phương cả hai vế: \[ (x-1)^2 + (y-1)^2 + 1 = (x-3)^2 + (y-1)^2 + 1 \] Rút gọn: \[ (x-1)^2 = (x-3)^2 \] \[ x^2 - 2x + 1 = x^2 - 6x + 9 \] \[ -2x + 1 = -6x + 9 \] \[ 4x = 8 \] \[ x = 2 \] Ta thấy có mâu thuẫn giữa \( x = \frac{1}{2} \) và \( x = 2 \). Do đó, ta cần kiểm tra lại các giả thiết hoặc có thể có lỗi trong quá trình tính toán. Tuy nhiên, nếu ta xét kỹ hơn, ta thấy rằng \( x = 1 \) là giá trị thỏa mãn cả hai phương trình. 4. Kiểm tra lại giá trị \( x = 1 \): Thay \( x = 1 \) vào các phương trình: \[ MA = \sqrt{(1-1)^2 + (y-1)^2 + 1} = \sqrt{(y-1)^2 + 1} \] \[ MB = \sqrt{(1+1)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{4 + (y-1)^2} \] \[ MC = \sqrt{(1-3)^2 + (y-1)^2 + 1} = \sqrt{4 + (y-1)^2 + 1} = \sqrt{5 + (y-1)^2} \] Để \( MA = MB \): \[ \sqrt{(y-1)^2 + 1} = \sqrt{4 + (y-1)^2} \] Bình phương cả hai vế: \[ (y-1)^2 + 1 = 4 + (y-1)^2 \] Rút gọn: \[ 1 = 4 \] Điều này là vô lý, do đó ta cần kiểm tra lại các giả thiết ban đầu. 5. Kết luận: Do mâu thuẫn trong quá trình tính toán, ta cần kiểm tra lại các giả thiết ban đầu. Tuy nhiên, dựa trên các phép tính đã thực hiện, ta thấy rằng không có điểm \( M \) trên mặt phẳng \( Oxy \) thỏa mãn điều kiện cách đều ba điểm \( A \), \( B \), và \( C \). Đáp số: Không có điểm \( M \) trên mặt phẳng \( Oxy \) cách đều ba điểm \( A \), \( B \), và \( C \). Bài 16: Để tính diện tích của hình bình hành ABCD, ta cần tìm độ dài hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$, sau đó tính tích có hướng của chúng để tìm diện tích hình bình hành. Bước 1: Tính độ dài của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$. \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7 \] \[ |\overrightarrow{AD}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7 \] Bước 2: Tính tích có hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$. \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 6 & 3 & -2 \\ 3 & -2 & 6 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 6 - (-2) \cdot (-2)) - \mathbf{j}(6 \cdot 6 - (-2) \cdot 3) + \mathbf{k}(6 \cdot (-2) - 3 \cdot 3) \] \[ = \mathbf{i}(18 - 4) - \mathbf{j}(36 + 6) + \mathbf{k}(-12 - 9) \] \[ = 14\mathbf{i} - 42\mathbf{j} - 21\mathbf{k} \] Bước 3: Tính độ dài của vectơ tích có hướng. \[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| = \sqrt{14^2 + (-42)^2 + (-21)^2} = \sqrt{196 + 1764 + 441} = \sqrt{2401} = 49 \] Bước 4: Diện tích hình bình hành ABCD là: \[ S_{ABCD} = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| = 49 \] Vậy diện tích của hình bình hành ABCD là 49. Bài 17: Để xét sự đồng phẳng của ba vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$, ta kiểm tra xem liệu có tồn tại các số thực $k_1, k_2, k_3$ sao cho: \[ k_1 \overrightarrow{a} + k_2 \overrightarrow{b} + k_3 \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0} \] với điều kiện $k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 \neq 0$. Nếu tồn tại các số thực $k_1, k_2, k_3$ thỏa mãn điều kiện trên thì ba vectơ đó đồng phẳng. a) $\overrightarrow{a} = (4; 2; 5)$, $\overrightarrow{b} = (3; 1; 3)$, $\overrightarrow{c} = (2; 0; 1)$ Ta cần kiểm tra xem liệu có tồn tại các số thực $k_1, k_2, k_3$ sao cho: \[ k_1 (4; 2; 5) + k_2 (3; 1; 3) + k_3 (2; 0; 1) = (0; 0; 0) \] Điều này tương đương với hệ phương trình: \[ \begin{cases} 4k_1 + 3k_2 + 2k_3 = 0 \\ 2k_1 + k_2 = 0 \\ 5k_1 + 3k_2 + k_3 = 0 \end{cases} \] Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ k_2 = -2k_1 \] Thay vào phương trình thứ nhất: \[ 4k_1 + 3(-2k_1) + 2k_3 = 0 \] \[ 4k_1 - 6k_1 + 2k_3 = 0 \] \[ -2k_1 + 2k_3 = 0 \] \[ k_3 = k_1 \] Thay vào phương trình thứ ba: \[ 5k_1 + 3(-2k_1) + k_1 = 0 \] \[ 5k_1 - 6k_1 + k_1 = 0 \] \[ 0 = 0 \] Vậy hệ phương trình có nghiệm $k_1 = t$, $k_2 = -2t$, $k_3 = t$ với $t \neq 0$. Do đó, ba vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ đồng phẳng. b) $\overrightarrow{a} = (1; -1; 1)$, $\overrightarrow{b} = (0; 1; 2)$, $\overrightarrow{c} = (4; 2; 3)$ Ta cần kiểm tra xem liệu có tồn tại các số thực $k_1, k_2, k_3$ sao cho: \[ k_1 (1; -1; 1) + k_2 (0; 1; 2) + k_3 (4; 2; 3) = (0; 0; 0) \] Điều này tương đương với hệ phương trình: \[ \begin{cases} k_1 + 4k_3 = 0 \\ -k_1 + k_2 + 2k_3 = 0 \\ k_1 + 2k_2 + 3k_3 = 0 \end{cases} \] Từ phương trình thứ nhất, ta có: \[ k_1 = -4k_3 \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ -(-4k_3) + k_2 + 2k_3 = 0 \] \[ 4k_3 + k_2 + 2k_3 = 0 \] \[ k_2 + 6k_3 = 0 \] \[ k_2 = -6k_3 \] Thay vào phương trình thứ ba: \[ -4k_3 + 2(-6k_3) + 3k_3 = 0 \] \[ -4k_3 - 12k_3 + 3k_3 = 0 \] \[ -13k_3 = 0 \] \[ k_3 = 0 \] Do đó, $k_1 = 0$, $k_2 = 0$, $k_3 = 0$. Vậy hệ phương trình chỉ có nghiệm duy nhất là $k_1 = k_2 = k_3 = 0$. Do đó, ba vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ không đồng phẳng. c) $\overrightarrow{a} = (1; 2; 1)$, $\overrightarrow{b} = (0; 1; 2)$, $\overrightarrow{c} = (4; 2; 3)$ Ta cần kiểm tra xem liệu có tồn tại các số thực $k_1, k_2, k_3$ sao cho: \[ k_1 (1; 2; 1) + k_2 (0; 1; 2) + k_3 (4; 2; 3) = (0; 0; 0) \] Điều này tương đương với hệ phương trình: \[ \begin{cases} k_1 + 4k_3 = 0 \\ 2k_1 + k_2 + 2k_3 = 0 \\ k_1 + 2k_2 + 3k_3 = 0 \end{cases} \] Từ phương trình thứ nhất, ta có: \[ k_1 = -4k_3 \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 2(-4k_3) + k_2 + 2k_3 = 0 \] \[ -8k_3 + k_2 + 2k_3 = 0 \] \[ k_2 - 6k_3 = 0 \] \[ k_2 = 6k_3 \] Thay vào phương trình thứ ba: \[ -4k_3 + 2(6k_3) + 3k_3 = 0 \] \[ -4k_3 + 12k_3 + 3k_3 = 0 \] \[ 11k_3 = 0 \] \[ k_3 = 0 \] Do đó, $k_1 = 0$, $k_2 = 0$, $k_3 = 0$. Vậy hệ phương trình chỉ có nghiệm duy nhất là $k_1 = k_2 = k_3 = 0$. Do đó, ba vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ không đồng phẳng. d) $\overrightarrow{a} = (-3; 1; -2)$, $\overrightarrow{b} = (1; 1; 1)$, $\overrightarrow{c} = (-2; 2; 1)$ Ta cần kiểm tra xem liệu có tồn tại các số thực $k_1, k_2, k_3$ sao cho: \[ k_1 (-3; 1; -2) + k_2 (1; 1; 1) + k_3 (-2; 2; 1) = (0; 0; 0) \] Điều này tương đương với hệ phương trình: \[ \begin{cases} -3k_1 + k_2 - 2k_3 = 0 \\ k_1 + k_2 + 2k_3 = 0 \\ -2k_1 + k_2 + k_3 = 0 \end{cases} \] Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ k_2 = -k_1 - 2k_3 \] Thay vào phương trình thứ nhất: \[ -3k_1 + (-k_1 - 2k_3) - 2k_3 = 0 \] \[ -3k_1 - k_1 - 2k_3 - 2k_3 = 0 \] \[ -4k_1 - 4k_3 = 0 \] \[ k_1 + k_3 = 0 \] \[ k_1 = -k_3 \] Thay vào phương trình thứ ba: \[ -2(-k_3) + (-k_3 - 2k_3) + k_3 = 0 \] \[ 2k_3 - k_3 - 2k_3 + k_3 = 0 \] \[ 0 = 0 \] Vậy hệ phương trình có nghiệm $k_1 = -t$, $k_2 = t$, $k_3 = t$ với $t \neq 0$. Do đó, ba vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ đồng phẳng. Kết luận: - a) Đồng phẳng - b) Không đồng phẳng - c) Không đồng phẳng - d) Đồng phẳng