whhshshshshd

Câu 17: Để tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình mặt phẳng dưới dạng tổng quát: Phương trình mặt phẳng đã cho là $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1$. Ta viết lại phương trình này dưới dạng tổng quát: \[ \frac{x}{2} + y + z = 1 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ x + 2y + 2z = 2 \] 2. Xác định vectơ pháp tuyến: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $ax + by + cz = d$. Trong đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow{n} = (a, b, c)$. So sánh phương trình $x + 2y + 2z = 2$ với dạng tổng quát, ta thấy $a = 1$, $b = 2$, $c = 2$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow{n} = (1, 2, 2)$. 3. Kiểm tra các đáp án: - Đáp án A: $\overrightarrow{n} = (3, 6, -2)$ - Đáp án B: $\overrightarrow{n} = (2, -1, 3)$ - Đáp án C: $\overrightarrow{n} = (-1, -6, -2)$ - Đáp án D: $\overrightarrow{n} = (-2, -1)$ Ta thấy rằng vectơ pháp tuyến $(1, 2, 2)$ không trùng khớp với bất kỳ đáp án nào trong các lựa chọn trên. Tuy nhiên, vectơ pháp tuyến có thể là bội của vectơ pháp tuyến ban đầu. Ta kiểm tra các đáp án: - Đáp án A: $(3, 6, -2)$ không phải là bội của $(1, 2, 2)$. - Đáp án B: $(2, -1, 3)$ không phải là bội của $(1, 2, 2)$. - Đáp án C: $(-1, -6, -2)$ không phải là bội của $(1, 2, 2)$. - Đáp án D: $(-2, -1)$ không phải là bội của $(1, 2, 2)$. Do đó, không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, nếu chúng ta xét kỹ hơn, ta thấy rằng vectơ pháp tuyến $(1, 2, 2)$ không nằm trong các lựa chọn. Vì vậy, không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho. Đáp án: Không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho. Câu 18: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \( M(1;2;3) \) và có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (1; -2; 1) \) có dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Trong đó, \( (a, b, c) \) là các thành phần của vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} \), và \( (x_0, y_0, z_0) \) là tọa độ của điểm \( M \). Thay \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = 1 \), \( x_0 = 1 \), \( y_0 = 2 \), \( z_0 = 3 \) vào phương trình trên, ta có: \[ 1(x - 1) - 2(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \] Rút gọn phương trình này: \[ x - 1 - 2y + 4 + z - 3 = 0 \] \[ x - 2y + z = 0 \] Do đó, phương trình của mặt phẳng (P) là: \[ x - 2y + z = 0 \] Vậy đáp án đúng là: D. \( x - 2y + z = 0 \) Câu 19: Để tìm phương trình mặt phẳng $(ABC)$ đi qua ba điểm $A(3;0;0)$, $B(0;1;0)$ và $C(0,0,-2)$, ta sử dụng phương trình mặt phẳng dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$, trong đó $(a, b, c)$ là các giao điểm của mặt phẳng với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. - Điểm $A(3;0;0)$ nằm trên trục Ox, do đó $a = 3$. - Điểm $B(0;1;0)$ nằm trên trục Oy, do đó $b = 1$. - Điểm $C(0,0,-2)$ nằm trên trục Oz, do đó $c = -2$. Thay các giá trị này vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[ \frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{-2} = 1 \] Do đó, phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: \[ \frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{-2} = 1 \] Vậy đáp án đúng là: B. $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{-2} = 1$ Đáp án: B. $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{-2} = 1$ Câu 20: Để tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \( M(0;2;1) \) và có cặp vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{a} = (1;3;1) \) và \( \overrightarrow{b} = (2;0;1) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} \) của mặt phẳng (P) có thể tìm bằng cách tính tích có hướng của hai vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \). \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \] Ta có: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} \] Tính tích có hướng: \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(3 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 3 \cdot 2) \] \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(-6) \] \[ \overrightarrow{n} = (3; 1; -6) \] 2. Lập phương trình mặt phẳng (P): Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \( M(0;2;1) \) và có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (3; 1; -6) \) có dạng: \[ 3(x - 0) + 1(y - 2) - 6(z - 1) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ 3x + y - 2 - 6z + 6 = 0 \] \[ 3x + y - 6z + 4 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ 3x + y - 6z + 4 = 0 \] Đáp án đúng là: A. \( 3x + y - 6z + 4 = 0 \) Câu 21: Để tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm \( A(0;1;1) \), \( B(2;4;3) \), \( C(5;3;1) \) với dạng tổng quát \( Ax + By + Cz + D = 0 \) và biết \( A = 4 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): - Vectơ \( \overrightarrow{AB} = (2-0, 4-1, 3-1) = (2, 3, 2) \) - Vectơ \( \overrightarrow{AC} = (5-0, 3-1, 1-1) = (5, 2, 0) \) Vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) của mặt phẳng (P) là tích có hướng của \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \): \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 2 \\ 5 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 0 - 2 \cdot 2) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - 2 \cdot 5) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 - 3 \cdot 5) = \mathbf{i}(-4) - \mathbf{j}(-10) + \mathbf{k}(-11) = (-4, 10, -11) \] 2. Xác định phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \). Biết \( A = 4 \), ta có: \[ 4x + By + Cz + D = 0 \] - Ta thay \( A = 4 \) vào vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (-4, 10, -11) \), suy ra \( B = -10 \) và \( C = 11 \). 3. Xác định giá trị của \( D \): - Mặt phẳng đi qua điểm \( A(0;1;1) \), thay tọa độ điểm \( A \) vào phương trình mặt phẳng: \[ 4 \cdot 0 + (-10) \cdot 1 + 11 \cdot 1 + D = 0 \] \[ -10 + 11 + D = 0 \] \[ 1 + D = 0 \] \[ D = -1 \] Vậy giá trị của \( D \) là \(-1\). Đáp án đúng là: A. -1. Câu 22: Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(0,0;1) \) và vuông góc với đoạn thẳng \( AB \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ \( \overrightarrow{AB} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vì mặt phẳng vuông góc với \( AB \). - Tọa độ của \( \overrightarrow{AB} \) là: \[ \overrightarrow{AB} = (1 - 0, 2 - 0, 3 - 1) = (1, 2, 2) \] 2. Viết phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \( (a, b, c) \) là tọa độ của vectơ pháp tuyến. - Thay \( (a, b, c) = (1, 2, 2) \) vào phương trình, ta có: \[ x + 2y + 2z + d = 0 \] - Để tìm \( d \), thay tọa độ của điểm \( A(0,0;1) \) vào phương trình: \[ 0 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + d = 0 \implies 2 + d = 0 \implies d = -2 \] 3. Viết phương trình cuối cùng: - Thay \( d = -2 \) vào phương trình, ta được: \[ x + 2y + 2z - 2 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(0,0;1) \) và vuông góc với đoạn thẳng \( AB \) là: \[ x + 2y + 2z - 2 = 0 \] Đáp án đúng là: B. \( x + 2y + 2z - 2 = 0 \) Câu 23: Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$: - Mặt phẳng $(\alpha): 3x - 2y + 2z + 7 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\alpha = (3, -2, 2)$. - Mặt phẳng $(\beta): 5x - 4y + 3z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\beta = (5, -4, 3)$. 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm: - Mặt phẳng cần tìm vuông góc với cả $(\alpha)$ và $(\beta)$, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này sẽ là tích vector của $\vec{n}_\alpha$ và $\vec{n}_\beta$. - Tích vector $\vec{n}_\alpha \times \vec{n}_\beta$: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -2 & 2 \\ 5 & -4 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}((-2)(3) - (2)(-4)) - \vec{j}((3)(3) - (2)(5)) + \vec{k}((3)(-4) - (-2)(5)) \] \[ = \vec{i}(-6 + 8) - \vec{j}(9 - 10) + \vec{k}(-12 + 10) \] \[ = \vec{i}(2) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(-2) \] \[ = (2, 1, -2) \] 3. Lập phương trình mặt phẳng: - Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O(0, 0, 0) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2, 1, -2)$ có phương trình: \[ 2(x - 0) + 1(y - 0) - 2(z - 0) = 0 \] \[ 2x + y - 2z = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả $(\alpha)$ và $(\beta)$ là: \[ 2x + y - 2z = 0 \] Đáp án đúng là: C. $2x + y - 2z = 0$. Câu 24: a) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;3;0)$ vì phương trình mặt phẳng (P) là $x + 3y - 5 = 0$. b) Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nếu và chỉ nếu vectơ pháp tuyến của chúng song song. Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_1} = (1;3;0)$ và vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_2} = (1;3;-1)$. Ta thấy rằng $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không song song vì $\frac{1}{1} = \frac{3}{3} \neq \frac{0}{-1}$. Do đó, mặt phẳng (P) không song song với mặt phẳng (Q). c) Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng ($\beta$) nếu và chỉ nếu tích vô hướng của vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0. Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_1} = (1;3;0)$ và vectơ pháp tuyến của ($\beta$) là $\overrightarrow{n_3} = (3;-1;6)$. Tích vô hướng của chúng là: \[ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_3} = 1 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 6 = 3 - 3 + 0 = 0 \] Do đó, mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng ($\beta$). d) Khoảng cách từ điểm $A(6;3;1)$ đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó, phương trình mặt phẳng (P) là $x + 3y - 5 = 0$, tức là $a = 1$, $b = 3$, $c = 0$, $d = -5$. Điểm $A$ có tọa độ $(6;3;1)$, tức là $x_0 = 6$, $y_0 = 3$, $z_0 = 1$. Thay vào công thức, ta có: \[ d = \frac{|1 \cdot 6 + 3 \cdot 3 + 0 \cdot 1 - 5|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2}} = \frac{|6 + 9 - 5|}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{|10|}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \] Vậy khoảng cách từ điểm $A(6;3;1)$ đến mặt phẳng (P) là $\sqrt{10}$. Câu 25: Để lập luận từng bước về hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương pháp: Ta sẽ kiểm tra xem hai mặt phẳng này có song song hay không bằng cách so sánh các hệ số của các biến \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình của chúng. 2. So sánh các hệ số: - Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: \(2x + y + 2z + 9 = 0\) - Mặt phẳng $(Q)$ có phương trình: \(2x + y + 2z + 27 = 0\) Ta thấy rằng các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\) trong cả hai phương trình đều giống nhau: - Hệ số của \(x\) là 2 - Hệ số của \(y\) là 1 - Hệ số của \(z\) là 2 3. Kiểm tra điều kiện song song: - Hai mặt phẳng song song nếu các hệ số của các biến \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình của chúng tỷ lệ với nhau và hằng số tự do khác nhau. Trong trường hợp này, các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình của $(P)$ và $(Q)$ đều giống nhau, nhưng hằng số tự do khác nhau (9 và 27). 4. Kết luận: - Vì các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình của $(P)$ và $(Q)$ giống nhau và hằng số tự do khác nhau, nên hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau. Đáp số: Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau.