giúp mik vs

Câu 3: Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Hình chóp \( S.ABCD \) với \( SA \perp (ABCD) \), \( SA = a\sqrt{3} \), \( ABCD \) là hình vuông tâm \( O \) cạnh bằng \( a \). - \( M \) là trung điểm của \( SA \). - Trong mặt phẳng \( (SAB) \), kẻ \( AH \perp SB \). a) \( AH \perp (SBC) \) Ta chứng minh \( AH \perp (SBC) \): - \( AH \perp SB \) (theo đề bài). - \( SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp BC \). - \( AB \perp BC \) (vì \( ABCD \) là hình vuông). - Do đó, \( BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp AH \). Vì \( AH \perp SB \) và \( AH \perp BC \), suy ra \( AH \perp (SBC) \). b) \( d(A, (SBC)) = \frac{\sqrt{3}}{2}a \) Khoảng cách từ \( A \) đến mặt phẳng \( (SBC) \) là độ dài đoạn thẳng \( AH \): - \( AH \perp SB \) và \( AH \perp BC \), do đó \( AH \) là khoảng cách từ \( A \) đến \( (SBC) \). Ta tính \( AH \): - \( SA = a\sqrt{3} \), \( AB = a \). - \( SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = 2a \). Diện tích tam giác \( SAB \): \[ [SAB] = \frac{1}{2} \times SA \times AB = \frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times a = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \] Diện tích tam giác \( SAB \) cũng có thể tính qua \( SB \) và \( AH \): \[ [SAB] = \frac{1}{2} \times SB \times AH = \frac{1}{2} \times 2a \times AH = a \times AH \] Do đó: \[ a \times AH = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \] \[ AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Vậy \( d(A, (SBC)) = \frac{\sqrt{3}}{2}a \). c) Góc giữa \( OM \) và mặt phẳng \( (SAB) \) là \( \alpha \), \( \tan \alpha = \frac{1}{3} \) Ta xác định \( OM \): - \( O \) là tâm hình vuông \( ABCD \), do đó \( OA = \frac{a\sqrt{2}}{2} \). - \( M \) là trung điểm của \( SA \), do đó \( SM = \frac{a\sqrt{3}}{2} \). Góc giữa \( OM \) và mặt phẳng \( (SAB) \) là góc giữa \( OM \) và hình chiếu của nó trên \( (SAB) \): - Hình chiếu của \( OM \) trên \( (SAB) \) là \( OA \). Ta tính \( OM \): \[ OM = \sqrt{OA^2 + AM^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{2a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \] Góc \( \alpha \) giữa \( OM \) và \( OA \): \[ \tan \alpha = \frac{AM}{OA} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \] d) \( \frac{V_{A.MOH}}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{6} \) Thể tích khối chóp \( S.ABCD \): \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times [ABCD] \times SA = \frac{1}{3} \times a^2 \times a\sqrt{3} = \frac{a^3\sqrt{3}}{3} \] Thể tích khối chóp \( A.MOH \): - Diện tích đáy \( MOH \) là \( \frac{1}{2} \times OH \times MH \). - \( OH = \frac{a\sqrt{2}}{2} \), \( MH = \frac{a\sqrt{3}}{2} \). \[ [MOH] = \frac{1}{2} \times \frac{a\sqrt{2}}{2} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{6}}{8} \] Thể tích khối chóp \( A.MOH \): \[ V_{A.MOH} = \frac{1}{3} \times [MOH] \times AO = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{6}}{8} \times \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{24} \] Tỉ số thể tích: \[ \frac{V_{A.MOH}}{V_{S.ABCD}} = \frac{\frac{a^3\sqrt{3}}{24}}{\frac{a^3\sqrt{3}}{3}} = \frac{1}{8} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{1}{6}} \]