Giải giúp em với ạ

Câu 22. Để tìm phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với cả $(P)$ và $(Q)$ đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$: - Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P = (1, -3, 2)$. - Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_Q = (1, 0, -1)$. - Mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với cả $(P)$ và $(Q)$, do đó vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là tích có hướng của $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_Q$: \[ \vec{n}_\alpha = \vec{n}_P \times \vec{n}_Q = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(3) - \vec{j}(-3) + \vec{k}(3) = (3, 3, 3) \] - Ta có vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là $\vec{n}_\alpha = (3, 3, 3)$. 2. Xác định điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha)$: - Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3, tức là điểm $(3, 0, 0)$ thuộc $(\alpha)$. 3. Lập phương trình mặt phẳng $(\alpha)$: - Phương trình mặt phẳng có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó $(A, B, C)$ là vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là điểm thuộc mặt phẳng. - Thay $\vec{n}_\alpha = (3, 3, 3)$ và điểm $(3, 0, 0)$ vào phương trình: \[ 3(x - 3) + 3(y - 0) + 3(z - 0) = 0 \implies 3x - 9 + 3y + 3z = 0 \implies 3x + 3y + 3z - 9 = 0 \] - Chia cả phương trình cho 3 để đơn giản hóa: \[ x + y + z - 3 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ x + y + z - 3 = 0 \] Đáp án đúng là: A. $x + y + z - 3 = 0$. Câu 23. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình \( ax + by + cz - 9 = 0 \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\vec{n}_P = (a, b, c)\). 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) có phương trình \( 3x + y + z + 4 = 0 \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\vec{n}_Q = (3, 1, 1)\). 3. Áp dụng điều kiện vuông góc: Vì mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q), nên vectơ pháp tuyến của (P) phải vuông góc với vectơ pháp tuyến của (Q). Điều này có nghĩa là tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến phải bằng 0: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0 \] Thay vào, ta có: \[ a \cdot 3 + b \cdot 1 + c \cdot 1 = 0 \implies 3a + b + c = 0 \] 4. Áp dụng điều kiện mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A và B: Mặt phẳng (P) đi qua điểm \( A(3, 2, 1) \): \[ a \cdot 3 + b \cdot 2 + c \cdot 1 - 9 = 0 \implies 3a + 2b + c = 9 \] Mặt phẳng (P) đi qua điểm \( B(-3, 5, 2) \): \[ a \cdot (-3) + b \cdot 5 + c \cdot 2 - 9 = 0 \implies -3a + 5b + 2c = 9 \] 5. Lập hệ phương trình: Ta có hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} 3a + b + c = 0 \\ 3a + 2b + c = 9 \\ -3a + 5b + 2c = 9 \end{cases} \] 6. Giải hệ phương trình: Từ phương trình thứ nhất, ta có: \[ c = -3a - b \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 3a + 2b + (-3a - b) = 9 \implies b = 9 \] Thay \( b = 9 \) vào phương trình thứ nhất: \[ 3a + 9 + c = 0 \implies c = -3a - 9 \] Thay \( b = 9 \) và \( c = -3a - 9 \) vào phương trình thứ ba: \[ -3a + 5 \cdot 9 + 2(-3a - 9) = 9 \implies -3a + 45 - 6a - 18 = 9 \implies -9a + 27 = 9 \implies -9a = -18 \implies a = 2 \] Thay \( a = 2 \) vào \( c = -3a - 9 \): \[ c = -3 \cdot 2 - 9 = -6 - 9 = -15 \] 7. Tính tổng \( S = a + b + c \): \[ S = 2 + 9 - 15 = -4 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C. S = -4} \] Câu 24. Để tìm phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm \( B(2;1;-3) \) và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng \( (Q): x + y + 3z = 0 \) và \( (R): 2x - y + z = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): - Mặt phẳng (P) vuông góc với cả hai mặt phẳng (Q) và (R). Do đó, vectơ pháp tuyến của (P) sẽ là tích vector của hai vectơ pháp tuyến của (Q) và (R). Vectơ pháp tuyến của (Q) là \( \vec{n}_Q = (1, 1, 3) \). Vectơ pháp tuyến của (R) là \( \vec{n}_R = (2, -1, 1) \). Tích vector của \( \vec{n}_Q \) và \( \vec{n}_R \) là: \[ \vec{n}_P = \vec{n}_Q \times \vec{n}_R = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 3 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) = \vec{i}(1 + 3) - \vec{j}(1 - 6) + \vec{k}(-1 - 2) = 4\vec{i} + 5\vec{j} - 3\vec{k} \] Vậy vectơ pháp tuyến của (P) là \( \vec{n}_P = (4, 5, -3) \). 2. Lập phương trình mặt phẳng (P): - Mặt phẳng (P) đi qua điểm \( B(2, 1, -3) \) và có vectơ pháp tuyến \( \vec{n}_P = (4, 5, -3) \). Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[ 4(x - 2) + 5(y - 1) - 3(z + 3) = 0 \] - Rút gọn phương trình: \[ 4x - 8 + 5y - 5 - 3z - 9 = 0 \] \[ 4x + 5y - 3z - 22 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là \( 4x + 5y - 3z - 22 = 0 \). Đáp án đúng là: D. \( 4x + 5y - 3z - 22 = 0 \). Câu 25. Để kiểm tra từng mệnh đề, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Mệnh đề A: $\overrightarrow{v} = -\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$ Điều này đúng vì $\overrightarrow{v} = (-1, 2, 3)$ có thể viết dưới dạng $\overrightarrow{v} = -1\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$. Mệnh đề B: $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}$ Điều kiện để hai vectơ vuông góc là tích vô hướng của chúng bằng 0: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (-2) \times (-1) + 0 \times 2 + 1 \times 3 = 2 + 0 + 3 = 5 \neq 0 \] Do đó, mệnh đề B sai. Mệnh đề C: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1, -2, 3)$ và vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow{v} = (-1, 2, 3)$ là: \[ (x - 1)(-1) + (y + 2)2 + (z - 3)3 = 0 \] \[ -x + 1 + 2y + 4 + 3z - 9 = 0 \] \[ -x + 2y + 3z - 4 = 0 \] \[ x - 2y - 3z + 4 = 0 \] Do đó, mệnh đề C đúng. Mệnh đề D: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1, -2, 3)$ và vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow{u} = (-2, 0, 1)$ là: \[ (x - 1)(-2) + (y + 2)0 + (z - 3)1 = 0 \] \[ -2x + 2 + z - 3 = 0 \] \[ -2x + z - 1 = 0 \] \[ 2x - z + 1 = 0 \] Do đó, mệnh đề D sai. Kết luận: - Mệnh đề A đúng. - Mệnh đề B sai. - Mệnh đề C đúng. - Mệnh đề D sai. Câu 26. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. Mệnh đề A: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{i} + 6\overrightarrow{j} + 5\overrightarrow{k}$ Ta tính $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 1)\overrightarrow{i} + (7 - 1)\overrightarrow{j} + (9 - 4)\overrightarrow{k} = \overrightarrow{i} + 6\overrightarrow{j} + 5\overrightarrow{k} \] Vậy mệnh đề A đúng. Mệnh đề B: $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$ Ta tính $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 1)\overrightarrow{i} + (9 - 1)\overrightarrow{j} + (13 - 4)\overrightarrow{k} = -\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{j} + 9\overrightarrow{k} \] Kiểm tra xem $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ có vuông góc với nhau hay không bằng cách tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{i} + 6\overrightarrow{j} + 5\overrightarrow{k}) \cdot (-\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{j} + 9\overrightarrow{k}) \] \[ = 1 \cdot (-1) + 6 \cdot 8 + 5 \cdot 9 = -1 + 48 + 45 = 92 \] Vì tích vô hướng không bằng 0, nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không vuông góc với nhau. Vậy mệnh đề B sai. Mệnh đề C: Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là $x - y + z - 4 = 0$ Ta tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng cách tính tích có hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 1 & 6 & 5 \\ -1 & 8 & 9 \end{vmatrix} = \overrightarrow{i}(6 \cdot 9 - 5 \cdot 8) - \overrightarrow{j}(1 \cdot 9 - 5 \cdot (-1)) + \overrightarrow{k}(1 \cdot 8 - 6 \cdot (-1)) \] \[ = \overrightarrow{i}(54 - 40) - \overrightarrow{j}(9 + 5) + \overrightarrow{k}(8 + 6) = 14\overrightarrow{i} - 14\overrightarrow{j} + 14\overrightarrow{k} = 14(\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}) \] Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ 14(x - 1) - 14(y - 1) + 14(z - 4) = 0 \] \[ x - 1 - (y - 1) + (z - 4) = 0 \] \[ x - y + z - 4 = 0 \] Vậy mệnh đề C đúng. Mệnh đề D: Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là $2x + y - z - 2 = 0$ Ta đã tìm được phương trình mặt phẳng là $x - y + z - 4 = 0$. Do đó, phương trình $2x + y - z - 2 = 0$ không đúng. Vậy mệnh đề D sai. Kết luận: - Mệnh đề A đúng. - Mệnh đề B sai. - Mệnh đề C đúng. - Mệnh đề D sai. Câu 27. Để tìm phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \( M(2; -1; 4) \) và song song với mặt phẳng \( (P): 3x - 2y + z + 1 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng \( (P) \) có phương trình \( 3x - 2y + z + 1 = 0 \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \( \vec{n} = (3, -2, 1) \). 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P): Mặt phẳng đi qua điểm \( M(2; -1; 4) \) và song song với mặt phẳng \( (P) \) sẽ có cùng vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (3, -2, 1) \). Do đó, phương trình của mặt phẳng này có dạng: \[ 3(x - 2) - 2(y + 1) + 1(z - 4) = 0 \] 3. Rút gọn phương trình: Ta mở ngoặc và rút gọn phương trình: \[ 3x - 6 - 2y - 2 + z - 4 = 0 \] \[ 3x - 2y + z - 12 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \( M(2; -1; 4) \) và song song với mặt phẳng \( (P) \) là: \[ 3x - 2y + z - 12 = 0 \] Do đó, trong các phương án đã cho, mệnh đề đúng là: C. Phương trình của mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (P) là \( 3x - 2y + z - 12 = 0 \). Mệnh đề sai là: A. Phương trình của mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (P) là \( 3x - 2y - z - 12 = 0 \). B. Phương trình của mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (P) là \( -3x + 2y - z + 12 = 0 \). D. Phương trình của mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (P) là \( 3x + 2y - z - 12 = 0 \). Câu 28. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. Mệnh đề A: $\overrightarrow{AB} = (3;1;2)$ Ta tính $\overrightarrow{AB}$ như sau: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 1; 1 - 0; 2 - 0) = (3; 1; 2) \] Vậy mệnh đề A đúng. Mệnh đề B: Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là $3x + y + 2z - 3 = 0$ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1;0;0)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (3;1;2)$ có dạng: \[ 3(x - 1) + 1(y - 0) + 2(z - 0) = 0 \] \[ 3x - 3 + y + 2z = 0 \] \[ 3x + y + 2z - 3 = 0 \] Vậy mệnh đề B đúng. Mệnh đề C: Nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB thì $I(\frac{5}{2}; \frac{1}{2}; 1)$ Ta tính tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: \[ I = \left( \frac{1 + 4}{2}, \frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{1}{2}, 1 \right) \] Vậy mệnh đề C đúng. Mệnh đề D: Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB có phương trình là $3x + y + 2z - 12 = 0$ Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I và vuông góc với AB. Ta đã biết tọa độ trung điểm I là $\left( \frac{5}{2}, \frac{1}{2}, 1 \right)$ và vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB} = (3;1;2)$. Phương trình mặt phẳng trung trực có dạng: \[ 3(x - \frac{5}{2}) + 1(y - \frac{1}{2}) + 2(z - 1) = 0 \] \[ 3x - \frac{15}{2} + y - \frac{1}{2} + 2z - 2 = 0 \] \[ 3x + y + 2z - \frac{15}{2} - \frac{1}{2} - 2 = 0 \] \[ 3x + y + 2z - 10 = 0 \] Vậy phương trình đúng là $3x + y + 2z - 10 = 0$, không phải $3x + y + 2z - 12 = 0$. Do đó, mệnh đề D sai. Kết luận: - Mệnh đề A đúng. - Mệnh đề B đúng. - Mệnh đề C đúng. - Mệnh đề D sai. Câu 29. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ xác định tọa độ của các điểm A, B, C dựa trên hình chiếu vuông góc của điểm M(1;2;3) trên các trục Ox, Oy, Oz. 1. Hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox: - Điểm A là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox, do đó tọa độ của A sẽ là (1;0;0). 2. Hình chiếu vuông góc của M trên trục Oy: - Điểm B là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oy, do đó tọa độ của B sẽ là (0;2;0). 3. Hình chiếu vuông góc của M trên trục Oz: - Điểm C là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oz, do đó tọa độ của C sẽ là (0;0;3). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề để xác định xem mệnh đề nào đúng và mệnh đề nào sai. - Mệnh đề 1: A(1;0;0) - Đúng vì tọa độ của A là (1;0;0). - Mệnh đề 2: B(0;2;0) - Đúng vì tọa độ của B là (0;2;0). - Mệnh đề 3: C(0;0;3) - Đúng vì tọa độ của C là (0;0;3). Như vậy, tất cả các mệnh đề đều đúng. Đáp án: - Mệnh đề 1: Đúng - Mệnh đề 2: Đúng - Mệnh đề 3: Đúng