Giúp em với

Câu 2. Để tính công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g}$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm độ lớn của lực trọng lực: - Khối lượng của em nhỏ là \( m = 30 \, \text{kg} \). - Gia tốc rơi tự do là \( g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \). Độ lớn của lực trọng lực là: \[ P = mg = 30 \times 9,8 = 294 \, \text{N} \] 2. Tìm độ lớn của độ dịch chuyển: - Chiều dài cầu trượt là \( d = 3 \, \text{m} \). 3. Tính góc giữa lực trọng lực và độ dịch chuyển: - Cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là \( 30^\circ \). - Góc giữa lực trọng lực và độ dịch chuyển cũng là \( 30^\circ \). 4. Áp dụng công thức tính công: - Công sinh bởi một lực $\overrightarrow{F}$ có độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$ được tính bởi công thức: \[ A = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = Fd \cos \theta \] - Ở đây, \( F = P = 294 \, \text{N} \), \( d = 3 \, \text{m} \), và \( \theta = 30^\circ \). Vậy công sinh bởi trọng lực là: \[ A = 294 \times 3 \times \cos(30^\circ) \] Biết rằng \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ A = 294 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 294 \times 3 \times 0,866 = 294 \times 2,598 = 764,352 \, \text{J} \] Vậy công sinh bởi trọng lực khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là: \[ A = 764,352 \, \text{J} \] Câu 3. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu, chúng ta cần xác định các giá trị Q1 (tứ phân vị thứ nhất) và Q3 (tứ phân vị thứ ba). Các bước thực hiện như sau: 1. Xác định vị trí của Q1 và Q3: - Số lượng dữ liệu \( n = 200 \). - Vị trí của Q1: \( \frac{n}{4} = \frac{200}{4} = 50 \). - Vị trí của Q3: \( \frac{3n}{4} = \frac{3 \times 200}{4} = 150 \). 2. Xác định nhóm chứa Q1 và Q3: - Nhóm chứa Q1: Từ tần số tích lũy, nhóm [30;40) chứa tần số từ 49 đến 88, nên Q1 nằm trong nhóm này. - Nhóm chứa Q3: Từ tần số tích lũy, nhóm [50;60) chứa tần số từ 137 đến 186, nên Q3 nằm trong nhóm này. 3. Áp dụng công thức tính Q1 và Q3: - Công thức: \( Q = L + \left( \frac{\frac{n}{4} - F_{\text{trước}}} {f} \right) \times d \) - Với \( L \) là giới hạn dưới của nhóm chứa Q, \( F_{\text{trước}} \) là tần số tích lũy trước nhóm chứa Q, \( f \) là tần số của nhóm chứa Q, và \( d \) là khoảng cách của nhóm. - Tính Q1: - \( L = 30 \), \( F_{\text{trước}} = 49 \), \( f = 40 \), \( d = 10 \) - \( Q1 = 30 + \left( \frac{50 - 49}{40} \right) \times 10 = 30 + \frac{10}{40} = 30 + 0,25 = 30,25 \) - Tính Q3: - \( L = 50 \), \( F_{\text{trước}} = 137 \), \( f = 50 \), \( d = 10 \) - \( Q3 = 50 + \left( \frac{150 - 137}{50} \right) \times 10 = 50 + \frac{130}{50} = 50 + 2,6 = 52,6 \) 4. Khoảng tứ phân vị: - Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 52,6 - 30,25 = 22,35 Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 22,4 (làm tròn đến hàng phần chục). Câu 4. Đầu tiên, ta tính khoảng cách giữa hai điểm \( A(500; 400; 12) \) và \( B(650; 450; 14) \). Khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \) trong không gian được tính bằng công thức: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào bài toán: \[ AB = \sqrt{(650 - 500)^2 + (450 - 400)^2 + (14 - 12)^2} \] \[ AB = \sqrt{150^2 + 50^2 + 2^2} \] \[ AB = \sqrt{22500 + 2500 + 4} \] \[ AB = \sqrt{25004} \] \[ AB \approx 158.12 \text{ km} \] Vật thể di chuyển từ điểm \( A \) đến điểm \( B \) trong thời gian 10 phút, tức là 1/6 giờ. Do đó, vận tốc của vật thể là: \[ v = \frac{AB}{\frac{1}{6}} = 158.12 \times 6 \approx 948.72 \text{ km/giờ} \] Trong 5 phút tiếp theo, vật thể vẫn di chuyển với cùng vận tốc và hướng. Thời gian này tương đương với 1/12 giờ. Quãng đường vật thể di chuyển trong 5 phút là: \[ d_1 = v \times \frac{1}{12} = 948.72 \times \frac{1}{12} \approx 79.06 \text{ km} \] Tổng thời gian từ lúc radar phát hiện đến nay là 15 phút, tức là 1/4 giờ. Quãng đường vật thể di chuyển trong 15 phút là: \[ d_2 = v \times \frac{1}{4} = 948.72 \times \frac{1}{4} \approx 237.18 \text{ km} \] Vậy, trong 15 phút kể từ lúc radar phát hiện, vật thể đó đã di chuyển một quãng đường khoảng 237 km (làm tròn đến hàng đơn vị). Đáp số: 237 km. Câu 5. Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) với đạo hàm \( f'(x) = (x-1)(x+2)^2(x-3)^3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm mà đạo hàm bằng không: \[ f'(x) = (x-1)(x+2)^2(x-3)^3 = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x + 2)^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x - 3)^3 = 0 \] Do đó, ta có: \[ x = 1, \quad x = -2, \quad x = 3 \] 2. Xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trong các khoảng giữa các điểm \( x = -2, 1, 3 \): - Khi \( x < -2 \): \[ f'(x) = (x-1)(x+2)^2(x-3)^3 < 0 \quad (\text{vì } x-1 < 0, (x+2)^2 > 0, (x-3)^3 < 0) \] - Khi \( -2 < x < 1 \): \[ f'(x) = (x-1)(x+2)^2(x-3)^3 < 0 \quad (\text{vì } x-1 < 0, (x+2)^2 > 0, (x-3)^3 < 0) \] - Khi \( 1 < x < 3 \): \[ f'(x) = (x-1)(x+2)^2(x-3)^3 > 0 \quad (\text{vì } x-1 > 0, (x+2)^2 > 0, (x-3)^3 < 0) \] - Khi \( x > 3 \): \[ f'(x) = (x-1)(x+2)^2(x-3)^3 > 0 \quad (\text{vì } x-1 > 0, (x+2)^2 > 0, (x-3)^3 > 0) \] 3. Xác định các điểm cực trị: - Tại \( x = -2 \): \[ f'(x) \) không đổi dấu từ âm sang dương hoặc ngược lại vì \( (x+2)^2 \) luôn dương. Do đó, \( x = -2 \) không phải là điểm cực trị. - Tại \( x = 1 \): \[ f'(x) \) thay đổi dấu từ âm sang dương. Do đó, \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 3 \): \[ f'(x) \) không đổi dấu từ âm sang dương hoặc ngược lại vì \( (x-3)^3 \) luôn dương. Do đó, \( x = 3 \) không phải là điểm cực trị. Vậy, hàm số \( y = f(x) \) có 1 điểm cực trị là điểm cực tiểu tại \( x = 1 \). Đáp số: 1 điểm cực trị. Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \). Tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất là điểm giao giữa đường thẳng \( x = -\frac{d}{c} \) và đường thẳng \( y = \frac{a}{c} \). Trước tiên, ta cần xác định các tham số \( a, b, c, d \) từ đồ thị. Từ đồ thị, ta thấy rằng đường thẳng \( x = -\frac{d}{c} \) đi qua điểm \( x = -1 \) và đường thẳng \( y = \frac{a}{c} \) đi qua điểm \( y = 2 \). Do đó: \[ -\frac{d}{c} = -1 \Rightarrow d = c \] \[ \frac{a}{c} = 2 \Rightarrow a = 2c \] Bây giờ, ta cần xác định giá trị của \( b \). Ta biết rằng điểm \( (-1, 2) \) nằm trên đồ thị hàm số, do đó ta thay vào phương trình hàm số: \[ 2 = \frac{a(-1) + b}{c(-1) + d} \] \[ 2 = \frac{-a + b}{-c + d} \] \[ 2 = \frac{-2c + b}{-c + c} \] \[ 2 = \frac{-2c + b}{0} \] Điều này cho thấy rằng \( b = 2c \). Vậy, tâm đối xứng \( I(m; n) \) của đồ thị hàm số là: \[ m = -\frac{d}{c} = -1 \] \[ n = \frac{a}{c} = 2 \] Do đó, giá trị của \( m + n \) là: \[ m + n = -1 + 2 = 1 \] Đáp số: \( m + n = 1 \)