flyfkcgxjgxgj

Câu 28: Để tìm phương trình mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$ và khoảng cách giữa chúng là 1, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình mặt phẳng $(P)$: Vì $(P)$ song song với $(Q)$, nên vectơ pháp tuyến của $(P)$ cũng là $(1, 2, 2)$. Do đó, phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng: \[ x + 2y + 2z + D = 0 \] 2. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(Q): x + 2y + 2z - 3 = 0$ và $(P): x + 2y + 2z + D = 0$ được tính bằng công thức: \[ d((P), (Q)) = \frac{|D - (-3)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|D + 3|}{3} \] Theo đề bài, khoảng cách này bằng 1: \[ \frac{|D + 3|}{3} = 1 \] Giải phương trình này: \[ |D + 3| = 3 \] Điều này dẫn đến hai trường hợp: \[ D + 3 = 3 \quad \text{hoặc} \quad D + 3 = -3 \] Từ đó, ta có: \[ D = 0 \quad \text{hoặc} \quad D = -6 \] 3. Xác định phương trình mặt phẳng $(P)$: Mặt phẳng $(P)$ không đi qua gốc tọa độ O, do đó $D \neq 0$. Vậy ta chọn $D = -6$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: \[ x + 2y + 2z - 6 = 0 \] 4. Tính $B + C + D$: So sánh phương trình $(P)$ với dạng tổng quát $x + By + Cz + D = 0$, ta thấy: \[ B = 2, \quad C = 2, \quad D = -6 \] Vậy: \[ B + C + D = 2 + 2 - 6 = -2 \] Đáp số: $B + C + D = -2$ Câu 29: Để tìm phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2;1;-3) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q) và (R), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (Q) và (R): - Mặt phẳng (Q): \(x + y + 3z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_Q = (1, 1, 3)\). - Mặt phẳng (R): \(2x - y + z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_R = (2, -1, 1)\). 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): - Mặt phẳng (P) vuông góc với cả hai mặt phẳng (Q) và (R), do đó vectơ pháp tuyến của (P) sẽ là tích vector của \(\vec{n}_Q\) và \(\vec{n}_R\): \[ \vec{n}_P = \vec{n}_Q \times \vec{n}_R = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 3 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) = \vec{i}(1 + 3) - \vec{j}(1 - 6) + \vec{k}(-1 - 2) = 4\vec{i} + 5\vec{j} - 3\vec{k} \] - Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\vec{n}_P = (4, 5, -3)\). 3. Lập phương trình mặt phẳng (P): - Mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2, 1, -3) và có vectơ pháp tuyến \((4, 5, -3)\), phương trình của nó có dạng: \[ 4(x - 2) + 5(y - 1) - 3(z + 3) = 0 \] - Rút gọn phương trình này: \[ 4x - 8 + 5y - 5 - 3z - 9 = 0 \] \[ 4x + 5y - 3z - 22 = 0 \] 4. So sánh với phương trình đã cho: - Phương trình của mặt phẳng (P) là \(4x + 5y - 3z - 22 = 0\), so sánh với \(Ax + By + Cz - 22 = 0\), ta thấy \(A = 4\), \(B = 5\), \(C = -3\). 5. Tính \(A + B + C\): \[ A + B + C = 4 + 5 - 3 = 6 \] Vậy, \(A + B + C = 6\). Câu 30: Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (AB'C), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích của tam giác AB'C: Vì ABC là tam giác đều cạnh 1, nên diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \] Tam giác A'B'C cũng là tam giác đều cạnh 1, do đó diện tích tam giác A'B'C cũng là: \[ S_{A'B'C} = \frac{\sqrt{3}}{4} \] Diện tích tam giác AB'C sẽ bằng diện tích tam giác ABC cộng thêm diện tích tam giác B'BC: \[ S_{B'BC} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1 \] \[ S_{AB'C} = S_{ABC} + S_{B'BC} = \frac{\sqrt{3}}{4} + 1 \] 2. Tính thể tích của khối chóp M.AB'C: Thể tích của khối chóp M.AB'C là: \[ V_{M.AB'C} = \frac{1}{3} \times S_{AB'C} \times h \] Trong đó, \( h \) là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB'C). Ta biết rằng M là trung điểm của AA', do đó khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC) là: \[ h_{M-ABC} = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \] Thể tích của khối chóp M.AB'C là: \[ V_{M.AB'C} = \frac{1}{3} \times \left( \frac{\sqrt{3}}{4} + 1 \right) \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{3} \] 3. Tính thể tích của khối chóp A.AB'C: Thể tích của khối chóp A.AB'C là: \[ V_{A.AB'C} = \frac{1}{3} \times S_{AB'C} \times AA' = \frac{1}{3} \times \left( \frac{\sqrt{3}}{4} + 1 \right) \times 2 = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{2}{3} \] 4. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB'C): Ta có: \[ V_{M.AB'C} = \frac{1}{2} \times V_{A.AB'C} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{2}{3} \right) \] Giải phương trình này để tìm \( h \): \[ \frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{3} \] Do đó, khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB'C) là: \[ h = \frac{2}{3} \] Kết quả cuối cùng là: \[ h \approx 0.67 \] Đáp số: Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB'C) là 0.67.