giup toi voi

a) Tính góc C: - Vector $\overrightarrow{CA} = (4 - 5, 1 - 3, 7 - 3) = (-1, -2, 4)$ - Vector $\overrightarrow{CB} = (2 - 5, 0 - 3, 6 - 3) = (-3, -3, 3)$ Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-1)(-3) + (-2)(-3) + (4)(3) = 3 + 6 + 12 = 21 \] Tính độ dài các vector: \[ |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21} \] \[ |\overrightarrow{CB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \] Tính cos góc C: \[ \cos C = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}|} = \frac{21}{\sqrt{21} \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{21}{3\sqrt{63}} = \frac{21}{3 \cdot 3\sqrt{7}} = \frac{7}{3\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{3} \] b) Tìm điểm D thuộc (Oxy) sao cho ABCD là hình thang (AB // CD): - Vector $\overrightarrow{AB} = (2 - 4, 0 - 1, 6 - 7) = (-2, -1, -1)$ - Vì AB // CD nên $\overrightarrow{CD} = k \overrightarrow{AB}$, với k là hằng số thực. Gọi D có tọa độ $(x, y, 0)$ (vì D thuộc (Oxy)): \[ \overrightarrow{CD} = (x - 5, y - 3, 0 - 3) = (x - 5, y - 3, -3) \] Do đó: \[ (x - 5, y - 3, -3) = k(-2, -1, -1) \] Từ đây ta có: \[ x - 5 = -2k \] \[ y - 3 = -k \] \[ -3 = -k \Rightarrow k = 3 \] Thay k = 3 vào hai phương trình đầu: \[ x - 5 = -2 \cdot 3 = -6 \Rightarrow x = -1 \] \[ y - 3 = -3 \Rightarrow y = 0 \] Vậy tọa độ của D là $(-1, 0, 0)$. c) Tìm điểm M thuộc Ox sao cho $|\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}|$ nhỏ nhất: - Gọi M có tọa độ $(x, 0, 0)$ (vì M thuộc Ox). Vector $\overrightarrow{MA} = (4 - x, 1 - 0, 7 - 0) = (4 - x, 1, 7)$ Vector $\overrightarrow{MB} = (2 - x, 0 - 0, 6 - 0) = (2 - x, 0, 6)$ Vector $\overrightarrow{MC} = (5 - x, 3 - 0, 3 - 0) = (5 - x, 3, 3)$ Tính $\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}$: \[ \overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = (4 - x, 1, 7) - 2(2 - x, 0, 6) + 3(5 - x, 3, 3) \] \[ = (4 - x, 1, 7) - (4 - 2x, 0, 12) + (15 - 3x, 9, 9) \] \[ = (4 - x - 4 + 2x + 15 - 3x, 1 - 0 + 9, 7 - 12 + 9) \] \[ = (15 - 2x, 10, 4) \] Tính độ dài của vector này: \[ |\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}| = \sqrt{(15 - 2x)^2 + 10^2 + 4^2} \] \[ = \sqrt{(15 - 2x)^2 + 100 + 16} \] \[ = \sqrt{(15 - 2x)^2 + 116} \] Để giá trị này nhỏ nhất, ta cần $(15 - 2x)^2$ nhỏ nhất, tức là $15 - 2x = 0$: \[ 15 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{15}{2} \] Vậy tọa độ của M là $\left(\frac{15}{2}, 0, 0\right)$.