Giúp em với ạ

Câu 1. Trước tiên, ta sẽ phân tích từng vectơ trong tổng $\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GH} + \overrightarrow{GF}$. - $\overrightarrow{GC}$ là vectơ từ G đến C. - $\overrightarrow{GH}$ là vectơ từ G đến H. - $\overrightarrow{GF}$ là vectơ từ G đến F. Ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ để biến đổi tổng này thành một vectơ đơn giản hơn. Ta có: \[ \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GH} + \overrightarrow{GF} \] Nhận thấy rằng trong hình hộp ABCD.EFGH, các đỉnh G, H, F và C đều nằm trên cùng một mặt phẳng. Ta có thể sử dụng tính chất vectơ để biến đổi tổng này. Ta biết rằng: \[ \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{DC} \] \[ \overrightarrow{GF} = \overrightarrow{BC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GH} + \overrightarrow{GF} = \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} \] Nhận thấy rằng: \[ \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD} \] Vậy: \[ \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{BD} \] Nhưng trong hình hộp, ta có: \[ \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{GD} \] Vậy tổng $\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GH} + \overrightarrow{GF}$ bằng $\overrightarrow{GD}$. Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{GD}$. Câu 2. Để xác định hàm số đúng trong các lựa chọn, chúng ta sẽ kiểm tra các tính chất của đồ thị và so sánh với các hàm số đã cho. 1. Kiểm tra điểm giao với trục y: - Đồ thị cắt trục y tại điểm có tọa độ (0, -2). Do đó, hàm số phải có dạng \( y = f(x) \) sao cho \( f(0) = -2 \). 2. Kiểm tra các điểm cực trị: - Đồ thị có hai điểm cực trị, một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Chúng ta sẽ kiểm tra các hàm số để xem có thỏa mãn điều này không. 3. Kiểm tra giới hạn khi \( x \to \pm\infty \): - Đồ thị có dạng cong lên ở cả hai phía, tức là khi \( x \to +\infty \) thì \( y \to +\infty \) và khi \( x \to -\infty \) thì \( y \to -\infty \). Điều này chỉ đúng với các hàm bậc ba có hệ số cao nhất dương. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số: A. \( y = -x^3 + 3x - 2 \) - Khi \( x = 0 \), \( y = -2 \). Đúng. - Tuy nhiên, vì hệ số cao nhất là âm (-1), nên khi \( x \to +\infty \), \( y \to -\infty \) và khi \( x \to -\infty \), \( y \to +\infty \). Điều này không phù hợp với đồ thị. B. \( y = x^3 - 3x - 2 \) - Khi \( x = 0 \), \( y = -2 \). Đúng. - Hệ số cao nhất là dương (1), nên khi \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \) và khi \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \). Điều này phù hợp với đồ thị. - Để kiểm tra thêm, chúng ta tính đạo hàm: \[ y' = 3x^2 - 3 \] Đặt \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] - Tại \( x = 1 \), \( y = 1^3 - 3 \cdot 1 - 2 = -4 \) (điểm cực tiểu). - Tại \( x = -1 \), \( y = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) - 2 = 0 \) (điểm cực đại). - Điều này phù hợp với đồ thị. C. \( y = x^3 - 3x + 2 \) - Khi \( x = 0 \), \( y = 2 \). Sai. D. \( y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{7}{3}x - 2 \) - Khi \( x = 0 \), \( y = -2 \). Đúng. - Hệ số cao nhất là dương (\(\frac{1}{3}\)), nên khi \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \) và khi \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \). Điều này phù hợp với đồ thị. - Để kiểm tra thêm, chúng ta tính đạo hàm: \[ y' = x^2 - \frac{7}{3} \] Đặt \( y' = 0 \): \[ x^2 - \frac{7}{3} = 0 \implies x^2 = \frac{7}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}} \] - Các giá trị này không phải là số nguyên, do đó không phù hợp với đồ thị. Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng hàm số \( y = x^3 - 3x - 2 \) là hàm số đúng. Đáp án: B. \( y = x^3 - 3x - 2 \) Câu 3. Khoảng biến thiên \( R \) của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất trong khoảng dữ liệu. Trong bảng đã cho: - Khoảng dữ liệu đầu tiên là [150;155) - Khoảng dữ liệu cuối cùng là [170;175) Giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu là 150 (giá trị dưới của khoảng đầu tiên). Giá trị lớn nhất trong mẫu số liệu là 175 (giá trị trên của khoảng cuối cùng). Do đó, khoảng biến thiên \( R \) là: \[ R = 175 - 150 = 25 \] Vậy đáp án đúng là: C. \( R = 25 \). Câu 4. Để xác định hàm số có hình dạng đồ thị như hình vẽ, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số một. A. \( y = \frac{x^2 + x - 3}{x - 1} \) Điều kiện xác định: \( x \neq 1 \). Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ y = \frac{x^2 + x - 3}{x - 1} = x + 2 + \frac{-1}{x - 1} \] Hình dạng đồ thị của hàm số này sẽ có đường tiệm cận đứng tại \( x = 1 \) và đường tiệm cận斜渐近线在 \( x = 1 \) 处，以及一条水平渐近线 \( y = x + 2 \)。这与给定的图形不匹配。 B. \( y = x^3 - 3x \) 这是一个三次多项式函数，其图形通常是一个S形曲线，具有一个局部最大值和一个局部最小值。这与给定的图形不匹配。 C. \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \) 条件定义：\( x \neq 1 \)。 我们可以将其重写为： \[ y = \frac{x + 1}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1} \] 这个函数有一个垂直渐近线在 \( x = 1 \)，并且当 \( x \to \infty \) 或 \( x \to -\infty \) 时，它趋向于水平渐近线 \( y = 1 \)。这与给定的图形匹配。 D. \( y = \frac{x - 1}{x + 1} \) 条件定义：\( x \neq -1 \)。 我们可以将其重写为： \[ y = \frac{x - 1}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1} \] 这个函数有一个垂直渐近线在 \( x = -1 \)，并且当 \( x \to \infty \) 或 \( x \to -\infty \) 时，它趋向于水平渐近线 \( y = 1 \)。这与给定的图形不匹配。 综上所述，正确答案是 C. \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \)。 最终答案是：C. \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \)。 Câu 5. Để xác định số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, chúng ta cần kiểm tra các điểm mà đạo hàm \( f'(x) \) thay đổi dấu từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương. Bảng xét dấu đạo hàm cho thấy: - \( f'(x) \) thay đổi dấu từ dương sang âm tại \( x = -2 \) - \( f'(x) \) thay đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = 0 \) - \( f'(x) \) thay đổi dấu từ dương sang âm tại \( x = 2 \) Như vậy, tại các điểm \( x = -2 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \), đạo hàm \( f'(x) \) thay đổi dấu, do đó hàm số \( y = f(x) \) có cực trị tại các điểm này. Vậy số điểm cực trị của hàm số là 3. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 6. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng hàm số đồng biến trên các khoảng sau: - Từ $x = -1$ đến $x = 1$: Hàm số tăng từ giá trị âm vô cùng đến giá trị dương vô cùng. - Từ $x = 4$ đến $x = +\infty$: Hàm số tăng từ giá trị dương vô cùng đến giá trị dương vô cùng. Do đó, hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên các khoảng: - $(-1; 1)$ - $(4; +\infty)$ Tuy nhiên, trong các đáp án được đưa ra, chỉ có khoảng $(-1; 1)$ nằm trong các khoảng đồng biến của hàm số. Vậy đáp án đúng là: A. $(-1; 1)$