Giải giúp em với ạ

Câu 10. Để tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm C(1, 1, 3) và có cặp vectơ $\overrightarrow{a} = (2, 1, -2)$ và $\overrightarrow{b} = (1, 0, 2)$ có giá song song với mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Ta tính tích có hướng của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến. \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \] Tính tích có hướng: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 2 - (-2) \cdot 0) - \mathbf{j}(2 \cdot 2 - (-2) \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = \mathbf{i}(2) - \mathbf{j}(4 + 2) + \mathbf{k}(-1) = 2\mathbf{i} - 6\mathbf{j} - \mathbf{k} \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (2, -6, -1)$. 2. Lập phương trình mặt phẳng (P): Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \] Trong đó, $(A, B, C)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm C(1, 1, 3). Thay vào ta có: \[ 2(x - 1) - 6(y - 1) - 1(z - 3) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ 2x - 2 - 6y + 6 - z + 3 = 0 \] \[ 2x - 6y - z + 7 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ 2x - 6y - z + 7 = 0 \] Đáp án đúng là: D. 2x - 6y - z + 7 = 0. Câu 11. Để tìm phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm \( A(3;0;0) \), \( B(0;1;0) \), và \( C(0;0;-2) \), ta sử dụng phương pháp tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm đã cho. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \), \( B(x_2, y_2, z_2) \), và \( C(x_3, y_3, z_3) \) có dạng: \[ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 \] Áp dụng vào bài toán: - \( A(3, 0, 0) \) - \( B(0, 1, 0) \) - \( C(0, 0, -2) \) Ta có: \[ \begin{vmatrix} x - 3 & y - 0 & z - 0 \\ 0 - 3 & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 3 & 0 - 0 & -2 - 0 \end{vmatrix} = 0 \] Tính định thức: \[ \begin{vmatrix} x - 3 & y & z \\ -3 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 0 \] Mở rộng theo hàng đầu: \[ (x - 3) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ -3 & -2 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = 0 \] Tính các định thức 2x2: \[ (x - 3)(1 \cdot (-2) - 0 \cdot 0) - y((-3) \cdot (-2) - 0 \cdot (-3)) + z((-3) \cdot 0 - 1 \cdot (-3)) = 0 \] \[ (x - 3)(-2) - y(6) + z(3) = 0 \] \[ -2(x - 3) - 6y + 3z = 0 \] \[ -2x + 6 - 6y + 3z = 0 \] \[ -2x - 6y + 3z = -6 \] \[ 2x + 6y - 3z = 6 \] Chia cả hai vế cho 6: \[ \frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} = 1 \] Như vậy, phương trình mặt phẳng (ABC) là: \[ \frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{-2} = 1 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{-2} = 1 \] Câu 12. Để xác định phương trình mặt phẳng (ABC) với dạng $ax + y - z + d = 0$, ta cần tìm các hệ số $a$ và $d$. Ta sẽ thực hiện theo các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC): - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 0, -2 - 1, 1 - 2) = (2, -3, -1)$ - Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (-2 - 0, 1 - 1, 0 - 2) = (-2, 0, -2)$ Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng (ABC) là tích có hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & -1 \\ -2 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(6 - 0) - \mathbf{j}(-4 - 2) + \mathbf{k}(0 - 6) = 6\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 6\mathbf{k} = (6, 6, -6) \] 2. Xác định phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng $6x + 6y - 6z + d = 0$. Chia cả phương trình cho 6 để đơn giản hóa: \[ x + y - z + \frac{d}{6} = 0 \] - So sánh với phương trình ban đầu $ax + y - z + d = 0$, ta thấy $a = 1$ và $\frac{d}{6} = d'$, tức là $d' = d$. 3. Xác định giá trị của $d$: - Thay tọa độ của điểm $A(0, 1, 2)$ vào phương trình $x + y - z + d = 0$: \[ 0 + 1 - 2 + d = 0 \implies -1 + d = 0 \implies d = 1 \] Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là $x + y - z + 1 = 0$, suy ra $a = 1$ và $d = 1$. Đáp án đúng là: $A.~a=1,~d=1.$ Câu 13. Để tìm phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \( A(0; -3; 2) \) và song song với mặt phẳng \( (P): 2x - y + 3z + 5 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng \( (P): 2x - y + 3z + 5 = 0 \) có vectơ pháp tuyến là \( \vec{n} = (2, -1, 3) \). 2. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P): Vì mặt phẳng cần tìm song song với \( (P) \), nên nó cũng sẽ có cùng vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (2, -1, 3) \). Phương trình tổng quát của mặt phẳng này có dạng: \[ 2x - y + 3z + d = 0 \] Trong đó, \( d \) là hằng số cần xác định. 3. Xác định hằng số \( d \): Mặt phẳng đi qua điểm \( A(0; -3; 2) \). Thay tọa độ của điểm \( A \) vào phương trình mặt phẳng để tìm \( d \): \[ 2(0) - (-3) + 3(2) + d = 0 \] \[ 0 + 3 + 6 + d = 0 \] \[ 9 + d = 0 \] \[ d = -9 \] 4. Viết phương trình cuối cùng của mặt phẳng: Thay \( d = -9 \) vào phương trình tổng quát, ta được phương trình của mặt phẳng: \[ 2x - y + 3z - 9 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \( A(0; -3; 2) \) và song song với mặt phẳng \( (P) \) là: \[ \boxed{2x - y + 3z - 9 = 0} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~2x - y + 3z - 9 = 0 \] Câu 14. Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(0;0;1) \) và vuông góc với đoạn thẳng \( AB \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ \( \overrightarrow{AB} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vì mặt phẳng vuông góc với \( AB \). - Tọa độ của \( \overrightarrow{AB} \) là: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 0, 2 - 0, 3 - 1) = (1, 2, 2) \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \( \vec{n} = (1, 2, 2) \). 2. Viết phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \( (a, b, c) \) là tọa độ của vectơ pháp tuyến và \( d \) là hằng số. - Thay \( \vec{n} = (1, 2, 2) \) vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[ 1x + 2y + 2z + d = 0 \] 3. Xác định hằng số \( d \): - Mặt phẳng đi qua điểm \( A(0;0;1) \), thay tọa độ của \( A \) vào phương trình mặt phẳng để tìm \( d \): \[ 1(0) + 2(0) + 2(1) + d = 0 \implies 2 + d = 0 \implies d = -2 \] 4. Viết phương trình cuối cùng của mặt phẳng: - Thay \( d = -2 \) vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[ x + 2y + 2z - 2 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(0;0;1) \) và vuông góc với đoạn thẳng \( AB \) là: \[ \boxed{x + 2y + 2z - 2 = 0} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~x + 2y + 2z - 2 = 0} \] Câu 15. Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(1;0;0) \) và vuông góc với đoạn thẳng \( AB \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ \( \overrightarrow{AB} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vì mặt phẳng vuông góc với \( AB \). - Tọa độ của \( \overrightarrow{AB} \) là: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 1, 2 - 0, 1 - 0) = (2, 2, 1) \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \( \vec{n} = (2, 2, 1) \). 2. Viết phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \( (a, b, c) \) là tọa độ của vectơ pháp tuyến và \( d \) là hằng số. - Thay \( \vec{n} = (2, 2, 1) \) vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[ 2x + 2y + z + d = 0 \] 3. Xác định hằng số \( d \): - Mặt phẳng đi qua điểm \( A(1, 0, 0) \), thay tọa độ của \( A \) vào phương trình mặt phẳng để tìm \( d \): \[ 2(1) + 2(0) + 1(0) + d = 0 \implies 2 + d = 0 \implies d = -2 \] 4. Viết phương trình cuối cùng của mặt phẳng: - Thay \( d = -2 \) vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[ 2x + 2y + z - 2 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(1;0;0) \) và vuông góc với đoạn thẳng \( AB \) là: \[ \boxed{2x + 2y + z - 2 = 0} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~2x + 2y + z - 2 = 0 \] Câu 16. Để viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng AB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): - Vectơ AB có tọa độ là: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 0, 2 - 1, 3 - 1) = (1, 1, 2) \] - Vì mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng AB, nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) chính là vectơ AB. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (1, 1, 2)$. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P): - Phương trình mặt phẳng có dạng: $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ của vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng. - Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0, 1, 1) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1, 1, 2)$, nên phương trình mặt phẳng (P) là: \[ 1(x - 0) + 1(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \] - Rút gọn phương trình trên: \[ x + y - 1 + 2z - 2 = 0 \implies x + y + 2z - 3 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là: \[ x + y + 2z - 3 = 0 \] Đáp án đúng là: A. \(x + y + 2z - 3 = 0\) Câu 17. Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(-1;1;1) \) và vuông góc với đường thẳng \( BC \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ \( \overrightarrow{BC} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \( BC \). - Tọa độ của \( \overrightarrow{BC} \) là: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (1 - 2, -1 - 1, 2 - 0) = (-1, -2, 2) \] - Vì mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \( BC \), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là \( \overrightarrow{BC} \). 2. Viết phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \( (a, b, c) \) là tọa độ của vectơ pháp tuyến. - Ta có \( a = -1 \), \( b = -2 \), \( c = 2 \). - Thay tọa độ của điểm \( A(-1;1;1) \) vào phương trình mặt phẳng để tìm \( d \): \[ -1(-1) + (-2)(1) + 2(1) + d = 0 \] \[ 1 - 2 + 2 + d = 0 \] \[ 1 + d = 0 \] \[ d = -1 \] 3. Viết phương trình cuối cùng: - Phương trình mặt phẳng là: \[ -x - 2y + 2z - 1 = 0 \] - Nhân cả hai vế với \(-1\) để đơn giản hóa: \[ x + 2y - 2z + 1 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A \) và vuông góc với đường thẳng \( BC \) là: \[ \boxed{x + 2y - 2z + 1 = 0} \] Đáp án đúng là: \( B.~x + 2y - 2z + 1 = 0 \) Câu 18. Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(0;1;2) \) và vuông góc với đoạn thẳng \( BC \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ \( \overrightarrow{BC} \) được tính như sau: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-2 - 2; 0 + 2; 1 - 1) = (-4; 2; 0) \] - Vì mặt phẳng vuông góc với \( BC \), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là \( \overrightarrow{BC} \): \[ \vec{n} = (-4; 2; 0) \] 2. Lập phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \( (a, b, c) \) là các thành phần của vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \). - Thay \( \vec{n} = (-4; 2; 0) \) vào phương trình mặt phẳng: \[ -4x + 2y + 0z + d = 0 \] - Mặt phẳng đi qua điểm \( A(0;1;2) \), thay tọa độ của \( A \) vào phương trình để tìm \( d \): \[ -4(0) + 2(1) + 0(2) + d = 0 \implies 2 + d = 0 \implies d = -2 \] 3. Viết phương trình mặt phẳng cuối cùng: - Thay \( d = -2 \) vào phương trình: \[ -4x + 2y - 2 = 0 \] - Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ -2x + y - 1 = 0 \] - Đổi dấu để thuận tiện hơn: \[ 2x - y + 1 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng đi qua \( A \) và vuông góc với \( BC \) là: \[ \boxed{2x - y + 1 = 0} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \text{C. } 2x - y + 1 = 0 \] Câu 19. Để tìm phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai điểm \( A(0;1;0) \) và \( B(2;3;1) \) và vuông góc với mặt phẳng \( (Q): x + 2y - z = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng \( (Q): x + 2y - z = 0 \) có vectơ pháp tuyến là \( \vec{n}_Q = (1, 2, -1) \). 2. Tìm vectơ AB: Vectơ \( \overrightarrow{AB} \) từ điểm \( A(0;1;0) \) đến điểm \( B(2;3;1) \) là: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 0, 3 - 1, 1 - 0) = (2, 2, 1) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q), do đó vectơ pháp tuyến của (P) phải vuông góc với \( \vec{n}_Q \). Mặt khác, vectơ pháp tuyến của (P) cũng phải vuông góc với \( \overrightarrow{AB} \). Ta gọi vectơ pháp tuyến của (P) là \( \vec{n}_P = (a, b, c) \). Điều kiện vuông góc với \( \vec{n}_Q \): \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0 \implies a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot (-1) = 0 \implies a + 2b - c = 0 \] Điều kiện vuông góc với \( \overrightarrow{AB} \): \[ \vec{n}_P \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \implies a \cdot 2 + b \cdot 2 + c \cdot 1 = 0 \implies 2a + 2b + c = 0 \] 4. Giải hệ phương trình để tìm \( a, b, c \): Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} a + 2b - c = 0 \\ 2a + 2b + c = 0 \end{cases} \] Cộng hai phương trình lại: \[ (a + 2b - c) + (2a + 2b + c) = 0 \implies 3a + 4b = 0 \implies a = -\frac{4}{3}b \] Thay \( a = -\frac{4}{3}b \) vào phương trình thứ nhất: \[ -\frac{4}{3}b + 2b - c = 0 \implies -\frac{4}{3}b + \frac{6}{3}b - c = 0 \implies \frac{2}{3}b - c = 0 \implies c = \frac{2}{3}b \] Chọn \( b = 3 \) (để đơn giản hóa): \[ a = -4, \quad c = 2 \] Vậy vectơ pháp tuyến của (P) là \( \vec{n}_P = (-4, 3, 2) \). 5. Viết phương trình mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) đi qua điểm \( A(0;1;0) \) và có vectơ pháp tuyến \( \vec{n}_P = (-4, 3, 2) \), phương trình của nó là: \[ -4(x - 0) + 3(y - 1) + 2(z - 0) = 0 \implies -4x + 3y - 3 + 2z = 0 \implies -4x + 3y + 2z - 3 = 0 \] Nhân cả phương trình với -1 để có dạng tiêu chuẩn: \[ 4x - 3y - 2z + 3 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là: \[ \boxed{4x - 3y - 2z + 3 = 0} \] Câu 20. Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng: - Mặt phẳng $(\alpha):~3x-2y+2z+7=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1 = (3, -2, 2)$. - Mặt phẳng $(\beta):~5x-4y+3z+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2 = (5, -4, 3)$. 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm: - Mặt phẳng cần tìm sẽ có vectơ pháp tuyến vuông góc với cả $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$. Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -2 & 2 \\ 5 & -4 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}((-2)(3) - (2)(-4)) - \vec{j}((3)(3) - (2)(5)) + \vec{k}((3)(-4) - (-2)(5)) \] \[ = \vec{i}(-6 + 8) - \vec{j}(9 - 10) + \vec{k}(-12 + 10) \] \[ = \vec{i}(2) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(-2) \] \[ = 2\vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k} \] - Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là $\vec{n} = (2, 1, -2)$. 3. Lập phương trình mặt phẳng: - Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O (0, 0, 0) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2, 1, -2)$ có phương trình: \[ 2(x - 0) + 1(y - 0) - 2(z - 0) = 0 \] \[ 2x + y - 2z = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả $(\alpha)$ và $(\beta)$ là: \[ 2x + y - 2z = 0 \] Đáp án đúng là: C. \(2x + y - 2z = 0\). Câu 21. Để tìm phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và vuông góc với mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình \(x - 3y + 2z - 5 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n}_P = (1, -3, 2)\). 2. Tìm vectơ AB: Điểm A(2, 4, 1) và điểm B(-1, 1, 3). \[ \vec{AB} = (-1 - 2, 1 - 4, 3 - 1) = (-3, -3, 2) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và vuông góc với mặt phẳng (P). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) sẽ vuông góc với cả \(\vec{n}_P\) và \(\vec{AB}\). Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \vec{n}_Q = \vec{n}_P \times \vec{AB} \] \[ \vec{n}_Q = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ -3 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}((-3)(2) - (2)(-3)) - \vec{j}((1)(2) - (2)(-3)) + \vec{k}((1)(-3) - (-3)(-3)) \] \[ = \vec{i}( -6 + 6 ) - \vec{j}( 2 + 6 ) + \vec{k}( -3 - 9 ) \] \[ = \vec{i}(0) - \vec{j}(8) + \vec{k}(-12) \] \[ = (0, -8, -12) \] 4. Phương trình của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_Q = (0, -8, -12)\) và đi qua điểm A(2, 4, 1). Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: \[ 0(x - 2) - 8(y - 4) - 12(z - 1) = 0 \] \[ -8y + 32 - 12z + 12 = 0 \] \[ -8y - 12z + 44 = 0 \] Chia cả phương trình cho -4 để đơn giản hóa: \[ 2y + 3z - 11 = 0 \] So sánh với dạng \(ax + by + cz - 11 = 0\), ta thấy \(a = 0\), \(b = 2\), \(c = 3\). 5. Tính \(a + b + c\): \[ a + b + c = 0 + 2 + 3 = 5 \] Vậy khẳng định đúng là: \[ A.~a + b + c = 5 \]