Giuap minh voi

Câu 1. a) Hàm số có 2 điểm cực trị. - Đồ thị hàm số có hai điểm uốn ở x = -1 và x = 1, do đó hàm số có hai điểm cực trị. Đáp án đúng. b) Hàm số đồng biến trên $(0;1).$ - Trên đoạn $(0;1)$, đồ thị hàm số có xu hướng tăng dần từ trái sang phải, tức là giá trị của y tăng khi x tăng. Do đó, hàm số đồng biến trên $(0;1)$. Đáp án đúng. c) Đồ thị hàm số không có tiệm cận. - Đồ thị hàm số không có đường thẳng nào mà đồ thị tiếp cận khi x tiến đến vô cùng hoặc âm vô cùng. Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận. Đáp án đúng. d) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $x=1.$ - Điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm mà giá trị của hàm số đạt giá trị lớn nhất trong một khoảng lân cận. Theo đồ thị, tại x = 1, giá trị của hàm số đạt giá trị lớn nhất trong khoảng lân cận đó. Do đó, điểm cực đại của đồ thị hàm số là x = 1. Đáp án đúng. Kết luận: Đáp án đúng là d) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $x=1.$ Câu 2. Để giải quyết các phát biểu trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phát biểu dựa vào phương trình chuyển động của chất điểm \( s(t) = t^3 - 3t^2 + 8t + 1 \). a) Tại thời điểm mà chất điểm di chuyển được 13m, vận tốc khi đó bằng \(8~m/s\). Bước 1: Tìm thời điểm \( t \) khi \( s(t) = 13 \) \[ t^3 - 3t^2 + 8t + 1 = 13 \] \[ t^3 - 3t^2 + 8t - 12 = 0 \] Bước 2: Giải phương trình \( t^3 - 3t^2 + 8t - 12 = 0 \) Ta thử nghiệm các giá trị \( t \): - \( t = 2 \): \[ 2^3 - 3(2)^2 + 8(2) - 12 = 8 - 12 + 16 - 12 = 0 \] Vậy \( t = 2 \) là nghiệm của phương trình. Bước 3: Tính vận tốc tại thời điểm \( t = 2 \) Phương trình vận tốc: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 6t + 8 \] Tại \( t = 2 \): \[ v(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 8 = 12 - 12 + 8 = 8 \] Vậy phát biểu a) là đúng. b) Vận tốc nhỏ nhất của chất điểm là \(5m/s\). Bước 1: Tìm vận tốc nhỏ nhất Phương trình vận tốc: \[ v(t) = 3t^2 - 6t + 8 \] Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( v(t) \) Đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = 6t - 6 \] Đặt \( v'(t) = 0 \): \[ 6t - 6 = 0 \] \[ t = 1 \] Kiểm tra giá trị của \( v(t) \) tại \( t = 1 \): \[ v(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 8 = 3 - 6 + 8 = 5 \] Vậy vận tốc nhỏ nhất là 5 m/s, đạt được khi \( t = 1 \). Phát biểu b) là đúng. e) Gia tốc tại thời điểm chất điểm đạt vận tốc nhỏ nhất bằng \(2m/s^2\). Bước 1: Tìm gia tốc tại thời điểm \( t = 1 \) Phương trình gia tốc: \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t - 6 \] Tại \( t = 1 \): \[ a(1) = 6(1) - 6 = 0 \] Vậy phát biểu e) là sai vì gia tốc tại thời điểm \( t = 1 \) là 0 m/s², không phải 2 m/s². d) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \( t = 3(s) \) bằng 8 m/s. Bước 1: Tính vận tốc tại thời điểm \( t = 3 \) Phương trình vận tốc: \[ v(t) = 3t^2 - 6t + 8 \] Tại \( t = 3 \): \[ v(3) = 3(3)^2 - 6(3) + 8 = 27 - 18 + 8 = 17 \] Vậy phát biểu d) là sai vì vận tốc tại thời điểm \( t = 3 \) là 17 m/s, không phải 8 m/s. Kết luận: - Phát biểu a) là đúng. - Phát biểu b) là đúng. - Phát biểu e) là sai. - Phát biểu d) là sai. Câu 3. a) Tọa độ của vecto $\overrightarrow u-\overrightarrow v$ là: \[ \overrightarrow u - \overrightarrow v = (3;0;-1) - (3;5;-7) = (3-3; 0-5; -1+7) = (0; -5; 6) \] Đáp án đúng là $(0; -5; 6)$. b) Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ là: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 3 \times 3 + 0 \times 5 + (-1) \times (-7) = 9 + 0 + 7 = 16 \] Đáp án đúng là 16. c) Trung điểm của đoạn AC có tọa độ là: \[ M = \left( \frac{-3+1}{2}; \frac{0+2}{2}; \frac{1-7}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}; \frac{2}{2}; \frac{-6}{2} \right) = (-1; 1; -3) \] Đáp án đúng là $(-1; 1; -3)$. d) Tọa độ của vecto $\overrightarrow{AB}$ là: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - (-3); -4 - 0; 6 - 1) = (2 + 3; -4; 5) = (5; -4; 5) \] Đáp án đúng là $(5; -4; 5)$. Tóm lại, các đáp án đúng là: a) $(0; -5; 6)$ b) 16 c) $(-1; 1; -3)$ d) $(5; -4; 5)$ Câu 4. a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12A: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12A là: \[ 10 - 0 = 10 \] b) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12B: Tứ phân vị thứ ba (Q3) là giá trị ở vị trí \(\frac{3}{4}\) tổng số lượng dữ liệu. Tổng số học sinh lớp 12B là: \[ 2 + 3 + 10 + 18 + 7 = 40 \] Vị trí của Q3 là: \[ \frac{3}{4} \times 40 = 30 \] Ta thấy rằng, trong khoảng [6;8) có 18 học sinh, do đó Q3 nằm trong khoảng này. Ta tính toán cụ thể hơn: \begin{align} Q3 &= 6 + \left( \frac{30 - (2 + 3 + 10)}{18} \right) \times 2 \\ &= 6 + \left( \frac{30 - 15}{18} \right) \times 2 \\ &= 6 + \left( \frac{15}{18} \right) \times 2 \\ &= 6 + \frac{15}{9} \\ &= 6 + 1.67 \\ &= 7.67 \end{align} c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12A và lớp 12B là bằng nhau: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12B là: \[ 10 - 0 = 10 \] Như vậy, khoảng biến thiên của cả hai lớp đều bằng 10. d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12A: Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị ở vị trí \(\frac{1}{4}\) tổng số lượng dữ liệu. Tổng số học sinh lớp 12A là: \[ 1 + 5 + 20 + 8 + 6 = 40 \] Vị trí của Q1 là: \[ \frac{1}{4} \times 40 = 10 \] Ta thấy rằng, trong khoảng [4;6) có 20 học sinh, do đó Q1 nằm trong khoảng này. Ta tính toán cụ thể hơn: \begin{align} Q1 &= 4 + \left( \frac{10 - (1 + 5)}{20} \right) \times 2 \\ &= 4 + \left( \frac{10 - 6}{20} \right) \times 2 \\ &= 4 + \left( \frac{4}{20} \right) \times 2 \\ &= 4 + \frac{4}{10} \\ &= 4 + 0.4 \\ &= 4.4 \end{align} Vậy, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12A là 4.4. Đáp án đúng là d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12A bằng 4,4.