*Cho số nguyên n thoả mãn: 3n+1 và 10n+1 là các số chính phương. Chứng minh rằng: 29n+11 không thể là số nguyên tố

Giả sử \(29n + 11\) là số nguyên tố. Ta sẽ chứng minh điều này dẫn đến mâu thuẫn. Gọi \(3n + 1 = a^2\) và \(10n + 1 = b^2\), với \(a\) và \(b\) là các số nguyên. Từ đây ta có: \[ 10n + 1 = b^2 \] \[ 3n + 1 = a^2 \] Nhân cả hai vế của phương trình \(3n + 1 = a^2\) với 10, ta được: \[ 30n + 10 = 10a^2 \] Bây giờ, ta trừ phương trình \(10n + 1 = b^2\) từ phương trình \(30n + 10 = 10a^2\): \[ 30n + 10 - (10n + 1) = 10a^2 - b^2 \] \[ 20n + 9 = 10a^2 - b^2 \] Ta cũng có: \[ 29n + 11 = 10a^2 - b^2 + n + 2 \] Do đó: \[ 29n + 11 = 10a^2 - b^2 + n + 2 \] Vì \(29n + 11\) là số nguyên tố, nên \(10a^2 - b^2 + n + 2\) cũng phải là số nguyên tố. Ta sẽ kiểm tra các trường hợp khả thi của \(a\) và \(b\). - Nếu \(a = 1\), ta có \(3n + 1 = 1^2 = 1\), suy ra \(n = 0\). Thay vào \(10n + 1 = b^2\), ta có \(1 = b^2\), suy ra \(b = 1\) hoặc \(b = -1\). Khi đó \(29n + 11 = 11\), là số nguyên tố. - Nếu \(a = 2\), ta có \(3n + 1 = 2^2 = 4\), suy ra \(n = 1\). Thay vào \(10n + 1 = b^2\), ta có \(11 = b^2\), nhưng 11 không phải là số chính phương, nên loại trường hợp này. - Nếu \(a = 3\), ta có \(3n + 1 = 3^2 = 9\), suy ra \(n = \frac{8}{3}\), không phải số nguyên, nên loại trường hợp này. - Nếu \(a = 4\), ta có \(3n + 1 = 4^2 = 16\), suy ra \(n = 5\). Thay vào \(10n + 1 = b^2\), ta có \(51 = b^2\), nhưng 51 không phải là số chính phương, nên loại trường hợp này. Vậy chỉ có trường hợp \(n = 0\) thỏa mãn, khi đó \(29n + 11 = 11\), là số nguyên tố. Tuy nhiên, ta đã giả sử \(29n + 11\) là số nguyên tố, do đó mâu thuẫn xảy ra. Vậy \(29n + 11\) không thể là số nguyên tố. Đáp số: \(29n + 11\) không thể là số nguyên tố.