làm bài tập trên

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - \( x \geq 0 \) - \( x \neq 1 \) 2. Rút gọn biểu thức \( B \): \[ B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \] 3. Quy đồng mẫu số: Ta quy đồng mẫu số chung của hai phân thức: \[ B = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2 - 2(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] 4. Rút gọn tử số: \[ (\sqrt{x} + 1)^2 - 2(\sqrt{x} - 1) = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x} + 1 - 2\sqrt{x} + 2 = x + 3 \] 5. Rút gọn mẫu số: \[ (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = x - 1 \] 6. Viết lại biểu thức \( B \) đã rút gọn: \[ B = \frac{x + 3}{x - 1} \] Vậy, biểu thức \( B \) đã được rút gọn thành: \[ B = \frac{x + 3}{x - 1} \] Đáp số: \( B = \frac{x + 3}{x - 1} \) Bài 3. Gọi số thóc đơn vị thứ nhất thu hoạch được năm ngoái là x (tấn, điều kiện: x > 0). Gọi số thóc đơn vị thứ hai thu hoạch được năm ngoái là y (tấn, điều kiện: y > 0). Theo đề bài ta có: x + y = 800 (1) Năm nay đơn vị thứ nhất thu hoạch được: \[ x + \frac{15}{100}x = 1,15x \] Năm nay đơn vị thứ hai thu hoạch được: \[ y + \frac{20}{100}y = 1,2y \] Tổng số thóc hai đơn vị thu hoạch được năm nay là 945 tấn, nên ta có phương trình: \[ 1,15x + 1,2y = 945 \] (2) Bây giờ ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 800 \\ 1,15x + 1,2y = 945 \end{cases} \] Ta sẽ giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng trừ. Ta chọn phương pháp thế: Từ phương trình (1), ta có: \[ y = 800 - x \] Thay vào phương trình (2): \[ 1,15x + 1,2(800 - x) = 945 \] \[ 1,15x + 960 - 1,2x = 945 \] \[ -0,05x + 960 = 945 \] \[ -0,05x = 945 - 960 \] \[ -0,05x = -15 \] \[ x = \frac{-15}{-0,05} \] \[ x = 300 \] Thay x = 300 vào phương trình (1): \[ 300 + y = 800 \] \[ y = 800 - 300 \] \[ y = 500 \] Vậy năm ngoái đơn vị thứ nhất thu hoạch được 300 tấn thóc và đơn vị thứ hai thu hoạch được 500 tấn thóc. Bài 4. 1. Diện tích trồng hoa hồng là nửa hình tròn đường kính AB tiếp xúc với CD tại H. Ta có: - Bán kính của nửa hình tròn là $r = OH = 12$ m. - Diện tích nửa hình tròn là $\frac{1}{2} \times \pi \times r^2 = \frac{1}{2} \times 3,14 \times 12^2 = \frac{1}{2} \times 3,14 \times 144 = 226,08$ m². Diện tích toàn bộ khu vườn hình thang ABCD là: - Chiều cao của hình thang là $h = OH = 12$ m. - Diện tích hình thang là $\frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h = \frac{1}{2} \times (24 + 32) \times 12 = \frac{1}{2} \times 56 \times 12 = 336$ m². Diện tích trồng hoa cúc là: - Diện tích trồng hoa cúc = Diện tích toàn bộ khu vườn - Diện tích trồng hoa hồng = 336 - 226,08 = 109,92 m². Đáp số: Diện tích trồng hoa cúc là 109,92 m². 2. a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và $OA \perp BC$: - Vì AB và AC là hai tiếp tuyến từ điểm A nên AB = AC. - Tam giác OAB và OAC là các tam giác vuông tại B và C (góc giữa bán kính và tiếp tuyến). - Do đó, tam giác OAB và OAC là các tam giác cân tại O. - Vậy bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB và OAC. - Đường thẳng OA là trục đối xứng của tam giác OAB và OAC, do đó $OA \perp BC$. b) Chứng minh $HK // BE$: - Vì BE là đường kính của đường tròn (O) nên góc BAE là góc vuông (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Tam giác BAE là tam giác vuông tại E. - Vì $CI \perp BE$ tại I nên góc BIC là góc vuông. - Tam giác BIC là tam giác vuông tại I. - Vì $OA \perp BC$ nên đường thẳng HK là đường thẳng đi qua tâm O và vuông góc với BC. - Do đó, HK song song với BE (vì cả hai đều vuông góc với BC). Đáp số: $HK // BE$. Bài 5. Điều kiện xác định: \( x \geq -3 \) Bước 1: Nhân cả hai vế của phương trình với \((x+3)\sqrt{x+8}-(x+2)\sqrt{x+3}\): \[ (x+3)\sqrt{x+8}+(x+2)\sqrt{x+3} = -x^2 + 2x + 17 \] Nhân cả hai vế với \((x+3)\sqrt{x+8}-(x+2)\sqrt{x+3}\): \[ [(x+3)\sqrt{x+8}+(x+2)\sqrt{x+3}][(x+3)\sqrt{x+8}-(x+2)\sqrt{x+3}] = (-x^2 + 2x + 17)[(x+3)\sqrt{x+8}-(x+2)\sqrt{x+3}] \] Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức \(A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)\): \[ (x+3)^2(x+8) - (x+2)^2(x+3) = (-x^2 + 2x + 17)[(x+3)\sqrt{x+8}-(x+2)\sqrt{x+3}] \] Bước 3: Rút gọn vế trái: \[ (x+3)^3 + (x+3)^2 \cdot 5 - (x+2)^2(x+3) = (-x^2 + 2x + 17)[(x+3)\sqrt{x+8}-(x+2)\sqrt{x+3}] \] \[ (x+3)^3 + 5(x+3)^2 - (x+2)^2(x+3) = (-x^2 + 2x + 17)[(x+3)\sqrt{x+8}-(x+2)\sqrt{x+3}] \] Bước 4: Xét trường hợp \(x = -3\): \[ (-3+3)\sqrt{-3+8} + (-3+2)\sqrt{-3+3} = -(-3)^2 + 2(-3) + 17 \] \[ 0 + 0 = -9 - 6 + 17 \] \[ 0 = 2 \] Vậy \(x = -3\) không thỏa mãn phương trình. Bước 5: Xét trường hợp \(x \neq -3\): \[ (x+3)^3 + 5(x+3)^2 - (x+2)^2(x+3) = (-x^2 + 2x + 17)[(x+3)\sqrt{x+8}-(x+2)\sqrt{x+3}] \] Phương trình này phức tạp và khó giải trực tiếp. Ta thử nghiệm các giá trị \(x\) để tìm nghiệm. Bước 6: Thử nghiệm các giá trị \(x\): - Thử \(x = 1\): \[ (1+3)\sqrt{1+8} + (1+2)\sqrt{1+3} = -(1)^2 + 2(1) + 17 \] \[ 4\sqrt{9} + 3\sqrt{4} = -1 + 2 + 17 \] \[ 4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 18 \] \[ 12 + 6 = 18 \] \[ 18 = 18 \] Vậy \(x = 1\) là nghiệm của phương trình. Kết luận: Nghiệm của phương trình là \(x = 1\). Đáp số: \(x = 1\)