Phương trình bậc 2 x²-4x+a=3 có nghiệm là x =$\frac{4+√7}{2}$. Tìm tổng bình phương 2 nghiệm (x$_1$$^2$ + x$_1$$^2$) của phương trình trên.

Để tìm tổng bình phương của hai nghiệm của phương trình bậc hai \(x^2 - 4x + a = 3\) đã cho, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị của \(a\): - Phương trình đã cho là \(x^2 - 4x + a = 3\). - Thay nghiệm \(x = \frac{4 + \sqrt{7}}{2}\) vào phương trình: \[ \left( \frac{4 + \sqrt{7}}{2} \right)^2 - 4 \left( \frac{4 + \sqrt{7}}{2} \right) + a = 3 \] - Tính \(\left( \frac{4 + \sqrt{7}}{2} \right)^2\): \[ \left( \frac{4 + \sqrt{7}}{2} \right)^2 = \frac{(4 + \sqrt{7})^2}{4} = \frac{16 + 8\sqrt{7} + 7}{4} = \frac{23 + 8\sqrt{7}}{4} \] - Tính \(4 \left( \frac{4 + \sqrt{7}}{2} \right)\): \[ 4 \left( \frac{4 + \sqrt{7}}{2} \right) = 2(4 + \sqrt{7}) = 8 + 2\sqrt{7} \] - Thay vào phương trình: \[ \frac{23 + 8\sqrt{7}}{4} - (8 + 2\sqrt{7}) + a = 3 \] - Chuyển tất cả các hạng tử sang cùng một vế: \[ \frac{23 + 8\sqrt{7}}{4} - 8 - 2\sqrt{7} + a = 3 \] - Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số: \[ 23 + 8\sqrt{7} - 32 - 8\sqrt{7} + 4a = 12 \] - Rút gọn: \[ 23 - 32 + 4a = 12 \] \[ -9 + 4a = 12 \] \[ 4a = 21 \] \[ a = \frac{21}{4} \] 2. Tìm tổng bình phương của hai nghiệm: - Phương trình bậc hai đã cho là \(x^2 - 4x + \frac{21}{4} = 3\), tức là \(x^2 - 4x + \frac{9}{4} = 0\). - Tổng của hai nghiệm \(x_1 + x_2 = 4\) (theo hệ số của phương trình bậc hai). - Tích của hai nghiệm \(x_1 \cdot x_2 = \frac{9}{4}\) (theo hệ số của phương trình bậc hai). - Tổng bình phương của hai nghiệm: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 4^2 - 2 \cdot \frac{9}{4} \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 16 - \frac{18}{4} \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 16 - 4.5 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 11.5 \] Vậy tổng bình phương của hai nghiệm là \(11.5\).