Giải giúp toi

Câu 1: Một mệnh đề toán học là một câu khẳng định đúng hoặc sai nhưng không thể vừa đúng vừa sai. Ta sẽ kiểm tra từng câu: A. "Việt Nam có 54 dân tộc." Đây là một câu khẳng định và nó là đúng. Do đó, đây là một mệnh đề toán học. B. "$x + 1 < 3$". Câu này chưa phải là một mệnh đề toán học vì nó chưa xác định giá trị của $x$. Nếu ta biết giá trị của $x$, thì câu này mới trở thành một mệnh đề toán học. C. "London là thủ đô của nước Anh." Đây là một câu khẳng định và nó là đúng. Do đó, đây là một mệnh đề toán học. D. "$\exists x \in \mathbb{Z}: 2x + 6 = 0$". Câu này nói rằng tồn tại một số nguyên $x$ sao cho $2x + 6 = 0$. Ta có thể giải phương trình này: \[ 2x + 6 = 0 \\ 2x = -6 \\ x = -3 \] Vì $-3$ là một số nguyên, nên câu này là đúng và do đó là một mệnh đề toán học. Tóm lại, các câu A, C và D là mệnh đề toán học. Câu B không phải là mệnh đề toán học vì nó chưa xác định giá trị của $x$. Đáp án: A, C, D. Câu 2: Tập hợp \( A \) được xác định là tập hợp các số tự nhiên \( x \) sao cho \( x \leq 5 \). Ta sẽ liệt kê các phần tử của tập hợp này theo thứ tự từ bé đến lớn. Các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 5 là: - 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 Do đó, tập hợp \( A \) được viết dưới dạng liệt kê các phần tử là: \[ A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \] Vậy đáp án đúng là: C. \( A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \) Đáp án: C. \( A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \) Câu 3: Để tìm tập hợp giao \( A \cap B \), ta cần xác định các phần tử chung giữa hai tập hợp \( A \) và \( B \). Tập hợp \( A = [-2; 2] \) bao gồm tất cả các số thực từ -2 đến 2, bao gồm cả -2 và 2. Tập hợp \( B = (-1; 3) \) bao gồm tất cả các số thực từ -1 đến 3, không bao gồm -1 và 3. Bây giờ, ta sẽ tìm phần giao của hai tập hợp này: - Phần giao của \( A \) và \( B \) sẽ là các số thực nằm trong khoảng từ -1 đến 2, vì đây là phần chung giữa hai tập hợp. Do đó, tập hợp \( A \cap B \) là: \[ A \cap B = (-1; 2] \] Vậy đáp án đúng là: B. \( (-1; 2] \) Câu 4: Để kiểm tra điểm nào thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y > 5\), ta lần lượt thay tọa độ của mỗi điểm vào bất phương trình và kiểm tra xem bất phương trình có thỏa mãn hay không. A. Thay \(Q(-1; 1)\) vào bất phương trình: \[2(-1) - 1 > 5 \Rightarrow -2 - 1 > 5 \Rightarrow -3 > 5\] Bất phương trình này không đúng, do đó điểm \(Q(-1; 1)\) không thuộc miền nghiệm. B. Thay \(P(1; 1)\) vào bất phương trình: \[2(1) - 1 > 5 \Rightarrow 2 - 1 > 5 \Rightarrow 1 > 5\] Bất phương trình này không đúng, do đó điểm \(P(1; 1)\) không thuộc miền nghiệm. C. Thay \(M(2; -1)\) vào bất phương trình: \[2(2) - (-1) > 5 \Rightarrow 4 + 1 > 5 \Rightarrow 5 > 5\] Bất phương trình này không đúng vì 5 không lớn hơn 5, do đó điểm \(M(2; -1)\) không thuộc miền nghiệm. D. Thay \(N(2; -2)\) vào bất phương trình: \[2(2) - (-2) > 5 \Rightarrow 4 + 2 > 5 \Rightarrow 6 > 5\] Bất phương trình này đúng, do đó điểm \(N(2; -2)\) thuộc miền nghiệm. Vậy điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y > 5\) là: Đáp án đúng là: D. \(N(2; -2)\). Câu 5: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ bất phương trình mà mỗi bất phương trình trong hệ đều có dạng bậc nhất hai ẩn, tức là mỗi biến số chỉ xuất hiện ở dạng lũy thừa 1 và không nhân với nhau. Ta sẽ kiểm tra từng hệ bất phương trình: A. $\left\{\begin{array}{l} x^2 + y > 2024 \\ 2x - y < 2025 \end{array}\right.$ - Bất phương trình đầu tiên có \(x^2\) nên không phải là bậc nhất hai ẩn. - Bất phương trình thứ hai là bậc nhất hai ẩn. B. $\left\{\begin{array}{l} x + 2xy > 2024 \\ 2x - y < 2025 \end{array}\right.$ - Bất phương trình đầu tiên có \(2xy\) nên không phải là bậc nhất hai ẩn. - Bất phương trình thứ hai là bậc nhất hai ẩn. C. $\left\{\begin{array}{l} x + y > 2024 \\ 2x - y < 2025 \end{array}\right.$ - Cả hai bất phương trình đều là bậc nhất hai ẩn. D. $\left\{\begin{array}{l} x + y > 2024 \\ 2x - y = 2025 \end{array}\right.$ - Bất phương trình đầu tiên là bậc nhất hai ẩn. - Phương trình thứ hai là phương trình bậc nhất hai ẩn, nhưng đây là phương trình chứ không phải bất phương trình. Do đó, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đúng là: C. $\left\{\begin{array}{l} x + y > 2024 \\ 2x - y < 2025 \end{array}\right.$ Đáp án: C. Câu 6: Để làm tròn số 2024,5678 đến hàng phần trăm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định chữ số ở hàng phần trăm: Chữ số ở hàng phần trăm là 6 (số 2024,5678). 2. Xác định chữ số liền kề bên phải hàng phần trăm: Chữ số liền kề bên phải hàng phần trăm là 7 (số 2024,5678). 3. Áp dụng quy tắc làm tròn: - Nếu chữ số liền kề bên phải hàng phần trăm (ở đây là 7) lớn hơn hoặc bằng 5, ta làm tròn lên. - Nếu chữ số liền kề bên phải hàng phần trăm (ở đây là 7) nhỏ hơn 5, ta làm tròn xuống. Trong trường hợp này, chữ số liền kề bên phải hàng phần trăm là 7, lớn hơn 5, nên ta làm tròn lên. 4. Làm tròn lên: Chữ số ở hàng phần trăm từ 6 sẽ tăng lên thành 7. Do đó, số 2024,5678 làm tròn đến hàng phần trăm là 2024,57. Vậy đáp án đúng là: A. 2024,57. Câu 7: Để tìm số trung vị của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau: 1. Sắp xếp các số trong mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: 1, 3, 6, 8, 9, 12 2. Xác định số lượng các số trong mẫu số liệu: Mẫu số liệu có 6 số. 3. Vì số lượng các số là chẵn (6), nên số trung vị sẽ là trung bình cộng của hai số ở giữa: - Hai số ở giữa là 6 và 8. 4. Tính trung bình cộng của hai số này: \[ \text{Số trung vị} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] Vậy số trung vị của mẫu số liệu trên là 7. Đáp án đúng là: C. 7. Câu 8: Ta có biểu thức: \[ \sin\alpha \cdot \cot\alpha + \cos\alpha \cdot \tan\alpha \] Trước tiên, ta biết rằng: \[ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \] \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \] Thay vào biểu thức, ta có: \[ \sin\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \] Rút gọn các phân số: \[ \cos\alpha + \sin\alpha \] Vậy biểu thức đã cho bằng: \[ \sin\alpha + \cos\alpha \] Do đó, đáp án đúng là: D. $\sin\alpha + \cos\alpha$. Câu 9: Ta sẽ sử dụng Định lý sin trong tam giác để giải quyết bài toán này. Theo Định lý sin: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Từ đó ta có: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \] Nhân cả hai vế với $\sin A$ và $\sin B$, ta được: \[ a \cdot \sin B = b \cdot \sin A \] Do đó, khẳng định đúng là: A. $a \cdot \sin B = b \cdot \sin A$ Đáp án: A. $a \cdot \sin B = b \cdot \sin A$ Câu 10: Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình bình hành ABCD, các vectơ có cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$ sẽ là các vectơ song song với AB hoặc ngược hướng với AB. Các vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình bình hành cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: - $\overrightarrow{DC}$ (song song và ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$) - $\overrightarrow{AD}$ (ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$) - $\overrightarrow{CB}$ (ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$) Như vậy, có 3 vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình bình hành cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$. Đáp án đúng là: A. 3. Câu 11: Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: \[ \bar{x} = \frac{10 + 7 + 6 + 3 + 4}{5} = \frac{30}{5} = 6 \] 2. Tính bình phương của độ lệch mỗi giá trị so với trung bình cộng: \[ (10 - 6)^2 = 4^2 = 16 \] \[ (7 - 6)^2 = 1^2 = 1 \] \[ (6 - 6)^2 = 0^2 = 0 \] \[ (3 - 6)^2 = (-3)^2 = 9 \] \[ (4 - 6)^2 = (-2)^2 = 4 \] 3. Tính tổng của các bình phương độ lệch: \[ 16 + 1 + 0 + 9 + 4 = 30 \] 4. Tính phương sai (variance): \[ s^2 = \frac{30}{5} = 6 \] 5. Tính độ lệch chuẩn (standard deviation): \[ s = \sqrt{6} \approx 2,45 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là 2,45 (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp án đúng là: C. 2,45. Câu 12: Trước tiên, ta cần nhớ rằng trong tam giác đều, tất cả các góc đều bằng 60°. Do đó, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là 120° (vì góc ở đỉnh B của tam giác đều là 60°, và góc giữa hai vectơ này sẽ là 180° - 60° = 120°). Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ là: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta) \] Trong đó: - \(|\overrightarrow{u}|\) và \(|\overrightarrow{v}|\) là độ dài của hai vectơ. - \(\theta\) là góc giữa hai vectơ. Áp dụng công thức này cho bài toán: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(120^\circ) \] Biết rằng độ dài cạnh của tam giác đều là \(2\sqrt{2}\), ta có: \[ |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = 2\sqrt{2} \] Và: \[ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \] Thay vào công thức: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (2\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ = 4 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ = 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ = -4 \] Vậy đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -4$. Câu 13: a) Tập $A=\{1;2;3;5;7\}.$ Số 1 không phải số nguyên tố nên mệnh đề này sai. b) Tập $B=\{x\in\mathbb R|(x-3)(x-5)=0\}.$ Tập $B=\{3;5\}.$ Tập B có đúng 4 tập con là $\varnothing ;\{3\};\{5\};\{3;5\}.$ Mệnh đề này đúng. c) Số tập con có 2 phần tử của A là 6. Tập $A=\{2;3;5;7\}.$ Các tập con có 2 phần tử của A là $\{2;3\};\{2;5\};\{2;7\};\{3;5\};\{3;7\};\{5;7\}.$ Mệnh đề này đúng. d) Có 5 tập X thỏa $B\subset X\subset A.$ Các tập X thỏa $B\subset X\subset A$ là $\{2;3;5\};\{3;5;7\};\{2;3;5;7\}.$ Mệnh đề này sai. Câu 14: Để kiểm tra xem điểm $(0;2)$ có thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}l2x+3y-6\leq0\\x\geq0\\2x-3y-1\leq0\end{array}\right.$ hay không, ta lần lượt thay tọa độ của điểm $(0;2)$ vào từng bất phương trình trong hệ. 1. Thay vào bất phương trình thứ nhất: \[ 2(0) + 3(2) - 6 = 0 + 6 - 6 = 0 \] Ta thấy rằng $0 \leq 0$, do đó điểm $(0;2)$ thỏa mãn bất phương trình thứ nhất. 2. Thay vào bất phương trình thứ hai: \[ 0 \geq 0 \] Ta thấy rằng $0 \geq 0$, do đó điểm $(0;2)$ thỏa mãn bất phương trình thứ hai. 3. Thay vào bất phương trình thứ ba: \[ 2(0) - 3(2) - 1 = 0 - 6 - 1 = -7 \] Ta thấy rằng $-7 \leq 0$, do đó điểm $(0;2)$ thỏa mãn bất phương trình thứ ba. Vì điểm $(0;2)$ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ, nên điểm này thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Do đó, mệnh đề "Điểm $(0;2)$ không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình trên" là sai.