nhanhhhhhhh

Câu 1:

Để phương trình \( x^2 + 2(m+1)x - (m^2 - 10m - 11) = 0 \) có hai nghiệm trái dấu, ta cần thỏa mãn hai điều kiện:

Định thức của phương trình phải dương: \( \Delta = b^2 - 4ac > 0 \) Trong đó:

\( a = 1 \)

\( b = 2(m+1) \)

\( c = -(m^2 - 10m - 11) \)
\[ \Delta = [2(m+1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(m^2 - 10m - 11)) = 4(m+1)^2 + 4(m^2 - 10m - 11) \]
\[ = 4[(m+1)^2 + (m^2 - 10m - 11)] \]
\[ = 4[m^2 + 2m + 1 + m^2 - 10m - 11] = 4[2m^2 - 8m - 10] \]
\[ = 8(m^2 - 4m - 5) \]

Để \( \Delta > 0 \):
\[ m^2 - 4m - 5 > 0 \]
\[ (m - 5)(m + 1) > 0 \]

Nghiệm của bất phương trình là \( m < -1 \) hoặc \( m > 5 \).

Hệ số \( a = 1 > 0 \) (luôn dương).

Để hai nghiệm trái dấu, \( c < 0 \):
\[ -(m^2 - 10m - 11) < 0 \implies m^2 - 10m - 11 > 0 \]
\[ (m - 11)(m + 1) > 0 \]

Nghiệm của bất phương trình là \( m < -1 \) hoặc \( m > 11 \).

Kết hợp các điều kiện:
Từ điều kiện \( m > 5 \) và \( m > 11 \), ta có \( m > 11 \).
Giá trị nguyên dương nhỏ nhất của \( m \) là \( m_0 = 12 \).

Số ước nguyên dương của \( m_0 \):
\( m_0 = 12 \) có các ước nguyên dương là: \( 1, 2, 3, 4, 6, 12 \) (tổng cộng 6 ước).

Số ước nguyên dương của \( m_0 \) là 6.

Câu 2:
\[ y' = 2x + 2(m - 1) \]

Điều kiện đồng biến: Để hàm số đồng biến, ta cần \( y' \geq 0 \) trên khoảng \( (-14, 11) \):
\[ 2x + 2(m - 1) \geq 0 \]
\[ x + (m - 1) \geq 0 \quad \text{(chia cả hai vế cho 2)} \]

Tại \( x = -14 \):
\[ -14 + (m - 1) \geq 0 \implies m - 15 \geq 0 \implies m \geq 15 \]

Tại \( x = 11 \):
\[ 11 + (m - 1) \geq 0 \implies m + 10 \geq 0 \implies m \geq -10 \quad \text{(điều này luôn đúng với } m \geq 15 \text{)} \]
Vì điều kiện \( m \geq 15 \) là điều kiện chính, ta cần tìm số giá trị nguyên của \( m \) nhỏ hơn 2024.

Giá trị nguyên nhỏ nhất của \( m \) là 15.
Giá trị nguyên lớn nhất của \( m \) là 2023.

Số giá trị nguyên:
Số giá trị nguyên từ 15 đến 2023 là:
\[ 2023 - 15 + 1 = 2009 \]

Có 2009 giá trị nguyên nhỏ hơn 2024 của tham số \( m \) để hàm số đồng biến trên khoảng \( (-14, 11) \).