nhanhhhhhhh câu 1: gọi Mo là giá trị nguyên dương nhỏ nhất cuả tham số m để Phương trình,$m_0$,$x^2+2.(m+1).x-m^2+10m+11=0$ có hai nghiệm trái dãn. khi đó,số ước nguyên dương cuả mo bằng bao nhiêu?,câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên nhỏ hơn 2024 cuả tham số m để hàm số,$y=x^2+2.(m-1)x-3m+5$ đồng biến trên khoảng (14; 11)?

Question

Accepted Answer

Câu 1: Để phương trình $x^2 + 2(m+1)x - m^2 + 10m + 11 = 0$ có hai nghiệm trái dấu, ta cần điều kiện: $$ \Delta > 0 \quad \text{và} \quad P < 0 $$ Trong đó, $\Delta$ là biệt thức và $P$ là tích của hai nghiệm. Tính biệt thức $\Delta$: $$ \Delta = [2(m+1)]^2 - 4(1)(-m^2 + 10m + 11) $$ $$ \Delta = 4(m+1)^2 + 4(m^2 - 10m - 11) $$ $$ \Delta = 4(m^2 + 2m + 1) + 4(m^2 - 10m - 11) $$ $$ \Delta = 4m^2 + 8m + 4 + 4m^2 - 40m - 44 $$ $$ \Delta = 8m^2 - 32m - 40 $$ Tích của hai nghiệm $P$: $$ P = -m^2 + 10m + 11 $$ Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu: $$ -m^2 + 10m + 11 < 0 $$ Giải bất phương trình: $$ -m^2 + 10m + 11 < 0 $$ $$ m^2 - 10m - 11 > 0 $$ Tìm nghiệm của phương trình $m^2 - 10m - 11 = 0$: $$ m = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 44}}{2} $$ $$ m = \frac{10 \pm \sqrt{144}}{2} $$ $$ m = \frac{10 \pm 12}{2} $$ $$ m = 11 \quad \text{hoặc} \quad m = -1 $$ Bất phương trình $m^2 - 10m - 11 > 0$ đúng khi $m < -1$ hoặc $m > 11$. Do đó, giá trị nguyên dương nhỏ nhất của $m$ là $m = 12$. Số ước nguyên dương của $m_0 = 12$: $$ 12 = 2^2 \times 3 $$ Số ước nguyên dương: $$ (2+1)(1+1) = 3 \times 2 = 6 $$ Đáp số: 6 Câu 2: Hàm số $y = x^2 + 2(m-1)x - 3m + 5$ đồng biến trên khoảng $(-14, 11)$ khi đỉnh của parabol nằm bên trái hoặc trùng với điểm $-14$. Đỉnh của parabol: $$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2(m-1)}{2} = -(m-1) = 1 - m $$ Điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng $(-14, 11)$: $$ 1 - m \leq -14 $$ $$ m \geq 15 $$ Giá trị nguyên nhỏ hơn 2024: $$ 15 \leq m < 2024 $$ Số giá trị nguyên $m$: $$ 2024 - 15 = 2009 $$ Đáp số: 2009