Cứu tui 😭

Bài 2. a) Tính giá trị của A khi $x=36$ Thay $x=36$ vào biểu thức $A$, ta có: \[ A = \frac{\sqrt{36} - 8}{\sqrt{36} + 2} = \frac{6 - 8}{6 + 2} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} \] b) Chứng minh $B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2}$ Điều kiện xác định: $x \geq 0; x \neq 4$ Ta có: \[ B = \frac{2}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - \frac{8}{4 - x} \] Chúng ta sẽ quy đồng các phân số: \[ B = \frac{2(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} + \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} - \frac{8}{(2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})} \] \[ B = \frac{2\sqrt{x} - 4 + x + 2\sqrt{x}}{x - 4} - \frac{8}{4 - x} \] \[ B = \frac{2\sqrt{x} - 4 + x + 2\sqrt{x}}{x - 4} + \frac{8}{x - 4} \] \[ B = \frac{2\sqrt{x} - 4 + x + 2\sqrt{x} + 8}{x - 4} \] \[ B = \frac{x + 4\sqrt{x} + 4}{x - 4} \] \[ B = \frac{(\sqrt{x} + 2)^2}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} \] c) Cho $P = A.B$. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. \[ P = A.B = \left( \frac{\sqrt{x} - 8}{\sqrt{x} + 2} \right) \left( \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} \right) \] \[ P = \frac{\sqrt{x} - 8}{\sqrt{x} - 2} \] Để P nhận giá trị nguyên, $\sqrt{x} - 8$ phải chia hết cho $\sqrt{x} - 2$. Gọi $\sqrt{x} - 8 = k(\sqrt{x} - 2)$, với k là số nguyên. \[ \sqrt{x} - 8 = k\sqrt{x} - 2k \] \[ \sqrt{x}(1 - k) = 8 - 2k \] \[ \sqrt{x} = \frac{8 - 2k}{1 - k} \] Để $\sqrt{x}$ là số nguyên, $\frac{8 - 2k}{1 - k}$ phải là số nguyên. Ta thử các giá trị của k: - Nếu $k = 0$: $\sqrt{x} = 8$, suy ra $x = 64$ - Nếu $k = 1$: $\sqrt{x}$ không xác định - Nếu $k = 2$: $\sqrt{x} = 4$, suy ra $x = 16$ - Nếu $k = 3$: $\sqrt{x} = 2$, suy ra $x = 4$ (loại vì $x \neq 4$) - Nếu $k = 4$: $\sqrt{x} = 0$, suy ra $x = 0$ (loại vì $\sqrt{x} - 2$ không xác định) Vậy giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên là $x = 64$ và $x = 16$. Bài 3. a) Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=90^\circ$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính) $\Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^\circ$ $\Rightarrow$ A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn (tổng hai góc kề bên trong bằng 180°) b) Ta có: $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$ (vì OB = OC) $\Rightarrow \widehat{OBA}=\widehat{OCA}$ (góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó) $\Rightarrow \widehat{OBA}=\widehat{OCA}=\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$ $\Rightarrow \widehat{OBA}+\widehat{OBC}=180^\circ$ $\Rightarrow$ O, B, A thẳng hàng $\Rightarrow OA$ vuông góc với BC (giao điểm của hai tiếp tuyến vẽ từ hai điểm trên đường tròn) c) Ta có: $\widehat{OMB}=\widehat{OMC}=90^\circ$ (BM vuông góc với CD) $\Rightarrow \widehat{OMB}+\widehat{OMC}=180^\circ$ $\Rightarrow$ B, O, M, C cùng thuộc một đường tròn (tổng hai góc kề bên trong bằng 180°) $\Rightarrow \widehat{CBM}=\widehat{COM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CM) $\Rightarrow \widehat{CBM}=\widehat{CBA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CA) $\Rightarrow BC$ là tia phân giác của $\widehat{ABM}$ Bài 4. Để chứng minh bất đẳng thức $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$, ta sẽ sử dụng phương pháp bình phương hai vế để biến đổi và chứng minh. Bước 1: Bình phương hai vế của bất đẳng thức: \[ (\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2})^2 \geq (\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2})^2 \] Bước 2: Mở ngoặc và biến đổi: \[ a^2 + b^2 + 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} + c^2 + d^2 \geq (a+c)^2 + (b+d)^2 \] Bước 3: Biến đổi vế phải: \[ a^2 + b^2 + 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} + c^2 + d^2 \geq a^2 + 2ac + c^2 + b^2 + 2bd + d^2 \] Bước 4: Trừ đi các hạng tử chung ở cả hai vế: \[ 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} \geq 2(ac + bd) \] Bước 5: Chia cả hai vế cho 2: \[ \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} \geq ac + bd \] Bước 6: Ta thấy rằng bất đẳng thức này đúng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2 \] Do đó, ta đã chứng minh được: \[ \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2} \] Điều này hoàn thành chứng minh.