Giải hộ cái. Vhbh

Câu 47: Để tìm giá trị của \( m \) sao cho góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u} = (1; 1; -2)\) và \(\overrightarrow{v} = (1; 0; m)\) bằng \(45^\circ\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot m = 1 - 2m \] 2. Tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + m^2} = \sqrt{1 + m^2} \] 3. Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(45^\circ) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|} \] Biết rằng \(\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\), ta có: \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \] 4. Giải phương trình: \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 - 2m}{\sqrt{6(1 + m^2)}} \] Nhân cả hai vế với \(\sqrt{2}\): \[ 1 = \frac{(1 - 2m) \sqrt{2}}{\sqrt{6(1 + m^2)}} \] Nhân cả hai vế với \(\sqrt{6(1 + m^2)}\): \[ \sqrt{6(1 + m^2)} = (1 - 2m) \sqrt{2} \] Bình phương cả hai vế: \[ 6(1 + m^2) = 2(1 - 2m)^2 \] Mở ngoặc và giản ước: \[ 6 + 6m^2 = 2(1 - 4m + 4m^2) \] \[ 6 + 6m^2 = 2 - 8m + 8m^2 \] Chuyển tất cả về một vế: \[ 6 + 6m^2 - 2 + 8m - 8m^2 = 0 \] \[ -2m^2 + 8m + 4 = 0 \] Chia cả phương trình cho -2: \[ m^2 - 4m - 2 = 0 \] 5. Giải phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} \] \[ m = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} \] \[ m = 2 \pm \sqrt{6} \] Vậy giá trị của \( m \) là \( m = 2 \pm \sqrt{6} \). Đáp án đúng là: C. \( m = 2 \pm \sqrt{6} \).