hhhhhhhhhh

Câu1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các giá trị của các hàm lượng giác trong khoảng \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). 1. Xác định khoảng góc: - Góc \(\alpha\) nằm trong khoảng từ \(90^\circ\) đến \(180^\circ\). Đây là góc ở phần trên của nửa trên của mặt phẳng tọa độ, cụ thể là góc thứ hai. 2. Xét các hàm lượng giác trong góc thứ hai: - \(\sin \alpha\): Trong góc thứ hai, giá trị của \(\sin \alpha\) luôn dương (\(\sin \alpha > 0\)). - \(\cos \alpha\): Trong góc thứ hai, giá trị của \(\cos \alpha\) luôn âm (\(\cos \alpha < 0\)). - \(\tan \alpha\): Trong góc thứ hai, giá trị của \(\tan \alpha\) luôn âm (\(\tan \alpha < 0\)) vì \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) và \(\sin \alpha > 0\) nhưng \(\cos \alpha < 0\). - \(\cot \alpha\): Trong góc thứ hai, giá trị của \(\cot \alpha\) luôn âm (\(\cot \alpha < 0\)) vì \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) và \(\cos \alpha < 0\) nhưng \(\sin \alpha > 0\). 3. Kiểm tra các khẳng định: - A. \(\sin \alpha < 0\): Sai vì \(\sin \alpha > 0\) trong khoảng \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). - B. \(\cos \alpha \geq 0\): Sai vì \(\cos \alpha < 0\) trong khoảng \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). - C. \(\tan \alpha < 0\): Đúng vì \(\tan \alpha < 0\) trong khoảng \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). - D. \(\cot \alpha > 0\): Sai vì \(\cot \alpha < 0\) trong khoảng \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). Vậy khẳng định đúng là: C. \(\tan \alpha < 0\) Đáp án: C. \(\tan \alpha < 0\) Câu 2. Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề đúng. A. $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$ Theo công thức biến đổi góc phụ, ta có: \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha \] Mệnh đề này đúng. B. $\sin(\pi + \alpha) = \sin\alpha$ Theo công thức biến đổi góc bù, ta có: \[ \sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha \] Mệnh đề này sai. C. $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha$ Theo công thức biến đổi góc phụ, ta có: \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha \] Mệnh đề này sai. D. $\tan(\pi + 2\alpha) = \cot(2\alpha)$ Theo công thức biến đổi góc bù, ta có: \[ \tan(\pi + 2\alpha) = \tan(2\alpha) \] Mệnh đề này sai vì $\tan(2\alpha) \neq \cot(2\alpha)$. Vậy, mệnh đề đúng là: A. $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$ Đáp án: A. Câu 3. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \tan\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức \( x + \frac{\pi}{3} \) không thuộc các giá trị làm cho hàm số tan không xác định. Hàm số \( \tan(z) \) không xác định khi \( z = \frac{\pi}{2} + k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Do đó, ta cần: \[ x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] Giải phương trình này để tìm điều kiện của \( x \): \[ x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + k\pi \] \[ x \neq \frac{3\pi - 2\pi}{6} + k\pi \] \[ x \neq \frac{\pi}{6} + k\pi \] Vậy tập xác định của hàm số \( y = \tan\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{6} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \] Đáp án đúng là: A. \( D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{6} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \). Câu 4. Phương trình $\cos x = \cos \frac{\pi}{5}$ có dạng chuẩn là $\cos x = \cos \alpha$, trong đó $\alpha = \frac{\pi}{5}$. Theo công thức lượng giác cơ bản, ta có: \[ x = \pm \alpha + k2\pi \] Trong đó, $k$ là số nguyên bất kỳ. Thay $\alpha = \frac{\pi}{5}$ vào công thức trên, ta được: \[ x = \pm \frac{\pi}{5} + k2\pi \] Do đó, nghiệm của phương trình là: \[ x = \pm \frac{\pi}{5} + k2\pi \] Vậy đáp án đúng là: B. $x = \pm \frac{\pi}{5} + k2\pi$. Câu 5. Để xác định một mặt phẳng hoàn toàn, ta cần biết các thông tin sau: A. Một đường thẳng và một điểm thuộc nó: - Điều này không đủ để xác định một mặt phẳng hoàn toàn vì có vô số mặt phẳng có thể chứa cả đường thẳng và điểm đó. B. Ba điểm mà nó đi qua: - Nếu ba điểm này thẳng hàng, thì chúng không xác định được một mặt phẳng hoàn toàn. Do đó, điều này không đảm bảo việc xác định mặt phẳng. C. Ba điểm không thẳng hàng: - Ba điểm không thẳng hàng sẽ xác định duy nhất một mặt phẳng. Vì vậy, điều này đủ để xác định một mặt phẳng hoàn toàn. D. Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng: - Nếu hai đường thẳng này song song hoặc cắt nhau, chúng sẽ xác định một mặt phẳng. Tuy nhiên, nếu hai đường thẳng này chéo nhau (không nằm trong cùng một mặt phẳng), chúng không xác định được một mặt phẳng hoàn toàn. Vậy, đáp án đúng là: C. Ba điểm không thẳng hàng. Câu 6. Trước tiên, ta cần hiểu rõ về các khẳng định đã cho: A. $M \in (ABC)$: Điểm M nằm trong mặt phẳng (ABC). B. $AM \subset (ABD)$: Đường thẳng AM nằm trong mặt phẳng (ABD). C. $M \notin (BCD)$: Điểm M không nằm trong mặt phẳng (BCD). D. $M \in BD$: Điểm M nằm trên đường thẳng BD. Giải thích từng khẳng định: - Điểm M là trung điểm của BD, do đó M nằm trên đường thẳng BD. Điều này đảm bảo rằng khẳng định D là đúng. - Mặt khác, vì M là trung điểm của BD, nên M không thể nằm trong mặt phẳng (ABC) hoặc (BCD) trừ khi BD nằm trong các mặt phẳng đó, nhưng thông thường trong hình học không gian, BD không nằm trong các mặt phẳng này. Do đó, khẳng định A và C là sai. - Đường thẳng AM sẽ nằm trong mặt phẳng (ABD) vì cả A và M đều thuộc mặt phẳng này. Do đó, khẳng định B là đúng. Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, chúng ta chỉ cần chọn khẳng định đúng duy nhất. Vì vậy, khẳng định D là đúng. Đáp án: D. $M \in BD$. Câu 7. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điều này có nghĩa là O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, đồng thời là trung điểm của cả hai đường chéo này. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Ta sẽ chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng BD. Bước 1: Xác định vị trí của các điểm M và N. - M là trung điểm của SA, tức là M nằm chính giữa đoạn thẳng SA. - N là trung điểm của SC, tức là N nằm chính giữa đoạn thẳng SC. Bước 2: Xét tam giác SAC. - Trong tam giác SAC, M và N là trung điểm của SA và SC tương ứng. - Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đường thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh của một tam giác sẽ song song với cạnh còn lại và bằng nửa cạnh đó. Bước 3: Áp dụng định lý đường trung bình. - Do M và N là trung điểm của SA và SC, nên đường thẳng MN sẽ song song với đường thẳng AC và bằng nửa độ dài của AC. Bước 4: Xét hình bình hành ABCD. - Vì ABCD là hình bình hành, đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và chia đôi nhau. - Điều này có nghĩa là AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành, và chúng cắt nhau tại O, tạo thành bốn tam giác bằng nhau. Bước 5: Kết luận. - Vì MN song song với AC và AC song song với BD (do tính chất của hình bình hành), nên MN cũng song song với BD. Vậy đường thẳng MN song song với đường thẳng BD. Đáp án đúng là: D. BD. Câu 8. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điều này có nghĩa là các cặp cạnh đối diện của ABCD là song song và bằng nhau. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng $\Delta$. Để xác định vị trí của $\Delta$, ta cần xem xét các tính chất của hình bình hành và các mặt phẳng liên quan. - Mặt phẳng (SAD) bao gồm các điểm S, A và D. - Mặt phẳng (SBC) bao gồm các điểm S, B và C. Do ABCD là hình bình hành, ta có: - AB // CD - AD // BC Giao tuyến $\Delta$ của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) sẽ đi qua đỉnh chung S và song song với một đường thẳng nằm trong cả hai mặt phẳng này. Ta kiểm tra từng trường hợp: - $\Delta$ không thể song song với AB vì AB nằm trong mặt phẳng (SAB) chứ không nằm trong (SAD) và (SBC). - $\Delta$ không thể song song với AD vì AD nằm trong mặt phẳng (SAD) nhưng không nằm trong (SBC). - $\Delta$ không thể song song với SA vì SA nằm trong cả hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) nhưng không phải là đường thẳng song song với giao tuyến. - $\Delta$ có thể song song với AC vì AC là đường chéo của hình bình hành ABCD và nằm trong cả hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Vậy, đường thẳng $\Delta$ đi qua S và song song với AC. Đáp án đúng là: C. Đường thẳng $\Delta$ đi qua S và song song với AC. Câu 9. Câu hỏi yêu cầu chúng ta xét các mệnh đề về phép chiếu song song và xác định mệnh đề nào là sai. Chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. Hình biểu diễn của tam giác cân qua phép chiếu song song là hình tam giác. - Phép chiếu song song giữ nguyên tính chất tam giác, do đó hình biểu diễn của tam giác cân vẫn là tam giác. Mệnh đề này đúng. B. Hình biểu diễn của hình vuông qua phép chiếu song song là hình bình hành. - Phép chiếu song song giữ nguyên tính chất hình bình hành, do đó hình biểu diễn của hình vuông qua phép chiếu song song là hình bình hành. Mệnh đề này đúng. C. Hình biểu diễn của tam giác đều qua phép chiếu song song là hình tam giác đều. - Phép chiếu song song không giữ nguyên tất cả các góc và cạnh của tam giác đều, do đó hình biểu diễn của tam giác đều qua phép chiếu song song không phải là tam giác đều. Mệnh đề này sai. D. Hình biểu diễn của hình tròn qua phép chiếu song song là hình elip. - Phép chiếu song song biến hình tròn thành hình elip. Mệnh đề này đúng. Vậy, mệnh đề sai là: C. Hình biểu diễn của tam giác đều qua phép chiếu song song là hình tam giác đều. Câu 10. Trước tiên, ta cần hiểu rõ về phép chiếu song song. Phép chiếu song song theo phương DC' lên mặt phẳng (A'B'C'D') sẽ tạo ra một đường thẳng song song với DC' và cắt qua điểm A. Điểm giao của đường thẳng này với mặt phẳng (A'B'C'D') chính là ảnh của điểm A qua phép chiếu. Ta xét các điểm trên hình hộp: - Điểm A nằm trên mặt phẳng (ABCD). - Mặt phẳng (A'B'C'D') song song với mặt phẳng (ABCD). Phương DC' là đường thẳng đi từ D đến C', tức là đường chéo của hình hộp từ đáy lên đỉnh. Ta cần tìm điểm giao của đường thẳng song song với DC' và đi qua A với mặt phẳng (A'B'C'D'). Do mặt phẳng (A'B'C'D') song song với mặt phẳng (ABCD), nên đường thẳng song song với DC' và đi qua A sẽ cắt vào mặt phẳng (A'B'C'D') tại điểm A'. Vậy ảnh của điểm A qua phép chiếu song song theo phương DC' lên mặt phẳng (A'B'C'D') là điểm A'. Đáp án đúng là: A. A'. Câu 11. Để tìm giá trị của $\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_n + 2v_n)$, ta sẽ sử dụng tính chất giới hạn của tổng và tích của các dãy số. Bước 1: Ta biết rằng $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = 2$ và $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n = 3$. Bước 2: Áp dụng tính chất giới hạn của tổng và tích: - Giới hạn của tổng của hai dãy số là tổng của giới hạn của chúng: $\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_n + v_n) = \lim_{n\rightarrow+\infty}u_n + \lim_{n\rightarrow+\infty}v_n$. - Giới hạn của tích của một hằng số và một dãy số là tích của hằng số và giới hạn của dãy số: $\lim_{n\rightarrow+\infty}(c \cdot u_n) = c \cdot \lim_{n\rightarrow+\infty}u_n$, trong đó $c$ là hằng số. Bước 3: Áp dụng vào bài toán: - Ta có $\lim_{n\rightarrow+\infty}(2v_n) = 2 \cdot \lim_{n\rightarrow+\infty}v_n = 2 \cdot 3 = 6$. - Do đó, $\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_n + 2v_n) = \lim_{n\rightarrow+\infty}u_n + \lim_{n\rightarrow+\infty}(2v_n) = 2 + 6 = 8$. Vậy giá trị của $\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_n + 2v_n)$ là 8. Đáp án đúng là: C. 8.