Giúp tôi bài này

Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp mô hình hóa nhiệt độ theo thời gian dựa trên công thức đã cho. Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số ban đầu: - Nhiệt độ ban đầu của gà tây nướng: \( T(0) = 195^\circ F \) - Nhiệt độ môi trường: \( T_r = 65^\circ F \) - Nhiệt độ của gà tây sau 30 phút: \( T(30) = 150^\circ F \) 2. Áp dụng công thức \( T(t) = T_r + D_0 e^{-kt} \): - Ban đầu, \( T(0) = 195^\circ F \), do đó \( D_0 = 195 - 65 = 130^\circ F \). 3. Thay vào công thức để tìm \( k \): \[ T(30) = 65 + 130 e^{-30k} \] \[ 150 = 65 + 130 e^{-30k} \] \[ 85 = 130 e^{-30k} \] \[ e^{-30k} = \frac{85}{130} = \frac{17}{26} \] \[ -30k = \ln\left(\frac{17}{26}\right) \] \[ k = -\frac{1}{30} \ln\left(\frac{17}{26}\right) \] 4. Tìm thời gian \( t \) để nhiệt độ gà tây không vượt quá \( 91^\circ F \): \[ T(t) = 65 + 130 e^{-kt} \leq 91 \] \[ 130 e^{-kt} \leq 26 \] \[ e^{-kt} \leq \frac{26}{130} = \frac{1}{5} \] \[ -kt \geq \ln\left(\frac{1}{5}\right) \] \[ t \leq -\frac{\ln\left(\frac{1}{5}\right)}{k} \] \[ t \leq -\frac{\ln\left(\frac{1}{5}\right)}{-\frac{1}{30} \ln\left(\frac{17}{26}\right)} \] \[ t \leq 30 \cdot \frac{\ln(5)}{\ln\left(\frac{26}{17}\right)} \] 5. Tính toán giá trị cụ thể: \[ \ln(5) \approx 1.6094 \] \[ \ln\left(\frac{26}{17}\right) \approx 0.4308 \] \[ t \leq 30 \cdot \frac{1.6094}{0.4308} \approx 110.2 \] Do đó, sau ít nhất khoảng 110 phút thì nhiệt độ gà tây nướng không vượt quá \( 91^\circ F \). Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị là 110 phút. Đáp số: 110 phút. Câu 4. Thể tích của chiếc khay thứ nhất là: \[ V_1 = 20 \times 10 \times 8 = 1600 \text{ cm}^3 \] Sau khi đổ, lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $\frac{1}{4}$ so với ban đầu, tức là: \[ V_{\text{giảm}} = \frac{1}{4} \times 1600 = 400 \text{ cm}^3 \] Thể tích nước đã đổ sang khay thứ hai là 400 cm³. Chiều cao của khay thứ hai là $h$. Mực nước ở khay thứ hai cao bằng $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ chiều cao của khay đó, tức là: \[ h_{\text{nước}} = \frac{1}{4}h \] Diện tích đáy nhỏ của khay thứ hai là: \[ A_{\text{đáy nhỏ}} = \left(\frac{n}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{n^2}{2} \] Diện tích đáy lớn của khay thứ hai là: \[ A_{\text{đáy lớn}} = \left(\frac{2n}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2n^2 \] Diện tích đáy trung gian (ở mực nước) là: \[ A_{\text{trung gian}} = \left(\frac{\frac{n}{\sqrt{2}} + \frac{2n}{\sqrt{2}}}{2}\right)^2 = \left(\frac{3n}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{9n^2}{8} \] Thể tích phần nước trong khay thứ hai là: \[ V_{\text{nước}} = \frac{1}{3} \times h_{\text{nước}} \times (A_{\text{đáy nhỏ}} + A_{\text{đáy lớn}} + 4A_{\text{trung gian}}) \] \[ V_{\text{nước}} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}h \times \left( \frac{n^2}{2} + 2n^2 + 4 \times \frac{9n^2}{8} \right) \] \[ V_{\text{nước}} = \frac{1}{12}h \times \left( \frac{n^2}{2} + 2n^2 + \frac{9n^2}{2} \right) \] \[ V_{\text{nước}} = \frac{1}{12}h \times \left( \frac{n^2 + 4n^2 + 9n^2}{2} \right) \] \[ V_{\text{nước}} = \frac{1}{12}h \times \frac{14n^2}{2} \] \[ V_{\text{nước}} = \frac{1}{12}h \times 7n^2 \] \[ V_{\text{nước}} = \frac{7n^2h}{12} \] Biết rằng thể tích nước đã đổ sang khay thứ hai là 400 cm³, ta có: \[ \frac{7n^2h}{12} = 400 \] \[ 7n^2h = 4800 \] \[ n^2h = \frac{4800}{7} \approx 685.71 \] Thể tích của chiếc khay thứ hai là: \[ V_2 = \frac{1}{3} \times h \times (A_{\text{đáy nhỏ}} + A_{\text{đáy lớn}} + 4A_{\text{trung gian}}) \] \[ V_2 = \frac{1}{3} \times h \times \left( \frac{n^2}{2} + 2n^2 + \frac{9n^2}{2} \right) \] \[ V_2 = \frac{1}{3} \times h \times 7n^2 \] \[ V_2 = \frac{7n^2h}{3} \] \[ V_2 = \frac{7 \times 685.71}{3} \approx 1600 \text{ cm}^3 \] Tổng các chữ số của số 1600 là: \[ 1 + 6 + 0 + 0 = 7 \] Đáp số: 7 Câu 5. Trước tiên, chúng ta xác định tọa độ của các điểm A và B trong hệ tọa độ Oxyz đã cho. - Điểm A cách mặt đất 5 m, cách điểm xuất phát 3 m về phía nam và 2 m về phía đông. Do đó, tọa độ của điểm A là \(A(3, 2, 5)\). - Điểm B cách mặt đất 5 m, cách điểm xuất phát 6 m về phía bắc và 6 m về phía tây. Do đó, tọa độ của điểm B là \(B(-6, -6, 5)\). Bây giờ, chúng ta cần tìm điểm \(P(x, y, 0)\) trên mặt đất (tức là \(z = 0\)) sao cho tổng khoảng cách từ điểm P đến hai chiếc flycam (điểm A và điểm B) ngắn nhất. Khoảng cách từ điểm P đến điểm A là: \[ PA = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 5^2} \] Khoảng cách từ điểm P đến điểm B là: \[ PB = \sqrt{(x + 6)^2 + (y + 6)^2 + 5^2} \] Tổng khoảng cách từ điểm P đến hai điểm A và B là: \[ f(x, y) = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 25} + \sqrt{(x + 6)^2 + (y + 6)^2 + 25} \] Để tối thiểu hóa tổng khoảng cách này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp hình học. Ta sẽ tìm điểm đối xứng của điểm B qua mặt đất, tức là điểm B' có tọa độ \(B'( -6, -6, -5 )\). Khi đó, tổng khoảng cách từ điểm P đến điểm A và điểm B sẽ bằng khoảng cách từ điểm P đến điểm A và điểm B'. Điều này giúp chúng ta dễ dàng hơn trong việc tìm điểm P tối ưu. Ta cần tìm điểm P sao cho đường thẳng nối A và B' cắt mặt đất. Đường thẳng này sẽ đi qua điểm giữa của đoạn thẳng nối A và B', và vuông góc với mặt đất. Tọa độ của điểm giữa của đoạn thẳng nối A và B' là: \[ M = \left( \frac{3 + (-6)}{2}, \frac{2 + (-6)}{2}, \frac{5 + (-5)}{2} \right) = \left( -\frac{3}{2}, -2, 0 \right) \] Do đó, điểm P tối ưu nằm trên đường thẳng nối A và B', và có tọa độ là \(P \left( -\frac{3}{2}, -2, 0 \right)\). Khoảng cách từ điểm xuất phát O đến điểm P là: \[ OP = \sqrt{\left( -\frac{3}{2} \right)^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ m} \] Vậy khoảng cách từ điểm xuất phát đến vị trí đó là 2.5 mét. Câu 6. Để tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu đánh cá A và B trên đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng của hàm số: Ta có: \[ y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} \] Rút gọn phân thức: \[ y = \frac{(x^2 + x + 1)}{(x + 1)} = \frac{x(x + 1) + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1} \] 2. Tìm khoảng cách ngắn nhất: Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm trên hai nhánh khác nhau của đồ thị sẽ là khoảng cách giữa hai điểm đối xứng qua đường thẳng \( y = x \). 3. Tìm điểm cực tiểu của hàm số: Để tìm điểm cực tiểu của hàm số \( f(x) = x + \frac{1}{x + 1} \), ta tính đạo hàm và tìm điểm cực tiểu: \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{(x + 1)^2} \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 1 - \frac{1}{(x + 1)^2} = 0 \implies \frac{1}{(x + 1)^2} = 1 \implies (x + 1)^2 = 1 \implies x + 1 = \pm 1 \] Do đó: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] 4. Kiểm tra điều kiện để xác định điểm cực tiểu: - Với \( x = 0 \): \[ f(0) = 0 + \frac{1}{0 + 1} = 1 \] - Với \( x = -2 \): \[ f(-2) = -2 + \frac{1}{-2 + 1} = -2 - 1 = -3 \] Điểm \( x = 0 \) là điểm cực tiểu vì \( f''(x) > 0 \) tại \( x = 0 \). 5. Tính khoảng cách ngắn nhất: Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm trên hai nhánh khác nhau của đồ thị là khoảng cách giữa hai điểm đối xứng qua đường thẳng \( y = x \). Ta có hai điểm: \[ (0, 1) \quad \text{và} \quad (-2, -3) \] Khoảng cách giữa hai điểm này là: \[ d = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47 \text{ km} \] Đáp số: Khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu đánh cá A và B là \( 4.47 \) km.