Bài 38: Cho phương trình x ^ 2 - (2m + 1) * x + m ^ 2 - 1 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm 5 thỏa mãn: (x_{1} ^ 2 - 2m*x_{1} + m ^ 2)(x_{2} + 1) = 1

Bài 38: Để phương trình \(x^2 - (2m + 1)x + m^2 - 1 = 0\) có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn \((x_1^2 - 2mx_1 + m^2)(x_2 + 1) = 1\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm: Phương trình \(x^2 - (2m + 1)x + m^2 - 1 = 0\) có hai nghiệm khi: \[ \Delta = (2m + 1)^2 - 4(m^2 - 1) \geq 0 \] \[ \Delta = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 + 4 \geq 0 \] \[ \Delta = 4m + 5 \geq 0 \] \[ m \geq -\frac{5}{4} \] 2. Áp dụng hệ thức Viète: Theo hệ thức Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2m + 1 \] \[ x_1 x_2 = m^2 - 1 \] 3. Thay vào điều kiện đã cho: Ta có: \[ (x_1^2 - 2mx_1 + m^2)(x_2 + 1) = 1 \] Ta nhận thấy rằng \(x_1^2 - 2mx_1 + m^2 = (x_1 - m)^2\). Do đó: \[ ((x_1 - m)^2)(x_2 + 1) = 1 \] 4. Xét trường hợp \(x_1 = m\): Nếu \(x_1 = m\), thay vào phương trình ban đầu: \[ m^2 - (2m + 1)m + m^2 - 1 = 0 \] \[ m^2 - 2m^2 - m + m^2 - 1 = 0 \] \[ -m - 1 = 0 \] \[ m = -1 \] Thử lại, ta thấy \(m = -1\) thỏa mãn điều kiện \(\Delta \geq 0\). 5. Kiểm tra nghiệm \(x_2\): Với \(m = -1\), phương trình trở thành: \[ x^2 + x = 0 \] \[ x(x + 1) = 0 \] Vậy nghiệm của phương trình là \(x_1 = 0\) và \(x_2 = -1\). 6. Kiểm tra điều kiện: Thay \(x_1 = 0\) và \(x_2 = -1\) vào điều kiện: \[ (0^2 - 2(-1) \cdot 0 + (-1)^2)(-1 + 1) = 1 \] \[ (1)(0) = 1 \] Điều này không đúng, do đó \(m = -1\) không thỏa mãn. Do đó, không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn điều kiện đề bài. Đáp số: Không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn điều kiện đề bài.