Bài 40: Cho phương trình x ^ 2 - 6x + m + 3 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 5 phân biệt thỏa mãn x_{2} = x_{1} ^ 2

Bài 40: Để phương trình \( x^2 - 6x + m + 3 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn \( x_2 = x_1^2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: Phương trình \( x^2 - 6x + m + 3 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt khi: \[ \Delta > 0 \] Với \( \Delta = b^2 - 4ac \): \[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 3) = 36 - 4(m + 3) = 36 - 4m - 12 = 24 - 4m \] Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \[ 24 - 4m > 0 \implies 24 > 4m \implies m < 6 \] 2. Áp dụng điều kiện \( x_2 = x_1^2 \): Giả sử \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm của phương trình, ta có: \[ x_1 + x_2 = 6 \quad \text{(từ tổng các nghiệm)} \] \[ x_1 \cdot x_2 = m + 3 \quad \text{(từ tích các nghiệm)} \] Thay \( x_2 = x_1^2 \) vào các công thức trên: \[ x_1 + x_1^2 = 6 \] \[ x_1 \cdot x_1^2 = m + 3 \implies x_1^3 = m + 3 \] 3. Giải phương trình \( x_1 + x_1^2 = 6 \): Đặt \( y = x_1 \), ta có phương trình: \[ y + y^2 = 6 \implies y^2 + y - 6 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ y = 2 \quad \text{hoặc} \quad y = -3 \] Do \( x_1 \) là nghiệm của phương trình ban đầu, ta chọn \( x_1 = 2 \) (vì \( x_1 = -3 \) không thỏa mãn \( x_1 + x_1^2 = 6 \)). 4. Tính \( m \) từ \( x_1 = 2 \): Thay \( x_1 = 2 \) vào \( x_1^3 = m + 3 \): \[ 2^3 = m + 3 \implies 8 = m + 3 \implies m = 5 \] 5. Kiểm tra điều kiện \( m < 6 \): Ta thấy \( m = 5 \) thỏa mãn điều kiện \( m < 6 \). Vậy giá trị của \( m \) để phương trình \( x^2 - 6x + m + 3 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn \( x_2 = x_1^2 \) là: \[ \boxed{5} \]