Xét xem đáp án đúng hay sai

Câu 16. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Biến đổi biểu thức: Ta có: \[ I = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + a^2 n} - \sqrt{n^2 + (a+2)n + 1}) \] Nhân lượng liên hợp: \[ I = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + a^2 n} - \sqrt{n^2 + (a+2)n + 1} \right) \cdot \frac{\sqrt{n^2 + a^2 n} + \sqrt{n^2 + (a+2)n + 1}}{\sqrt{n^2 + a^2 n} + \sqrt{n^2 + (a+2)n + 1}} \] Điều này dẫn đến: \[ I = \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2 + a^2 n) - (n^2 + (a+2)n + 1)}{\sqrt{n^2 + a^2 n} + \sqrt{n^2 + (a+2)n + 1}} \] Rút gọn phân tử: \[ I = \lim_{n \to \infty} \frac{a^2 n - (a+2)n - 1}{\sqrt{n^2 + a^2 n} + \sqrt{n^2 + (a+2)n + 1}} \] \[ I = \lim_{n \to \infty} \frac{(a^2 - a - 2)n - 1}{\sqrt{n^2 + a^2 n} + \sqrt{n^2 + (a+2)n + 1}} \] 2. Tìm giới hạn: Chia cả tử và mẫu cho \( n \): \[ I = \lim_{n \to \infty} \frac{(a^2 - a - 2) - \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{a^2}{n}} + \sqrt{1 + \frac{(a+2)}{n} + \frac{1}{n^2}}} \] Khi \( n \to \infty \), các phân số \(\frac{1}{n}\), \(\frac{a^2}{n}\), \(\frac{(a+2)}{n}\), và \(\frac{1}{n^2}\) đều tiến đến 0: \[ I = \frac{a^2 - a - 2}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{a^2 - a - 2}{2} \] 3. Xét các trường hợp: - Nếu \( I = 0 \): \[ \frac{a^2 - a - 2}{2} = 0 \implies a^2 - a - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ a^2 - a - 2 = 0 \implies (a - 2)(a + 1) = 0 \implies a = 2 \text{ hoặc } a = -1 \] Vậy có 2 giá trị \( a \) thỏa mãn: \( a = 2 \) và \( a = -1 \). - Nếu \( I = 1 \): \[ \frac{a^2 - a - 2}{2} = 1 \implies a^2 - a - 2 = 2 \implies a^2 - a - 4 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ a^2 - a - 4 = 0 \implies a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} \] Các giá trị \( a \) là \( \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \) và \( \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \). Vì \( \sqrt{17} \) là số vô tỉ, nên không có giá trị nguyên nào thỏa mãn. Kết luận: - Đáp án đúng là (c) Nếu \( I = 0 \) thì tổng các giá trị \( a \) tìm được bằng 1 (vì \( 2 + (-1) = 1 \)).