Giúp e với

Câu 1. Để tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định độ cao ban đầu và các lần nảy sau đó: - Độ cao ban đầu của quả bóng là 63m. - Mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên với độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao trước đó. 2. Tính tổng quãng đường đi xuống và đi lên: - Quãng đường đi xuống lần đầu tiên là 63m. - Quãng đường đi lên lần đầu tiên là $63 \times \frac{1}{10} = 6.3$m. - Quãng đường đi xuống lần thứ hai là $6.3$m. - Quãng đường đi lên lần thứ hai là $6.3 \times \frac{1}{10} = 0.63$m. - Quãng đường đi xuống lần thứ ba là $0.63$m. - Quãng đường đi lên lần thứ ba là $0.63 \times \frac{1}{10} = 0.063$m. - Cứ tiếp tục như vậy... 3. Tổng quãng đường đi xuống: - Tổng quãng đường đi xuống là: \[ 63 + 6.3 + 0.63 + 0.063 + \ldots \] - Đây là một dãy số vô hạn với công bội $r = \frac{1}{10}$. 4. Tổng quãng đường đi lên: - Tổng quãng đường đi lên là: \[ 6.3 + 0.63 + 0.063 + \ldots \] - Đây cũng là một dãy số vô hạn với công bội $r = \frac{1}{10}$. 5. Tính tổng của các dãy số vô hạn: - Tổng của dãy số vô hạn với công bội $r$ là $\frac{a}{1-r}$, trong đó $a$ là số hạng đầu tiên của dãy. - Tổng quãng đường đi xuống: \[ S_{\text{down}} = \frac{63}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{63}{\frac{9}{10}} = 63 \times \frac{10}{9} = 70 \text{ m} \] - Tổng quãng đường đi lên: \[ S_{\text{up}} = \frac{6.3}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{6.3}{\frac{9}{10}} = 6.3 \times \frac{10}{9} = 7 \text{ m} \] 6. Tổng quãng đường toàn bộ: - Tổng quãng đường toàn bộ là tổng của quãng đường đi xuống và đi lên: \[ S_{\text{total}} = S_{\text{down}} + S_{\text{up}} = 70 + 7 = 77 \text{ m} \] Vậy, độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là 77 mét. Câu 2. Để tính tổng của dãy số \( S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^n} + ... \), ta nhận thấy đây là một dãy số vô hạn với mỗi số hạng là một nửa của số hạng trước đó. Đây là một dãy số lũy thừa với công bội \( q = \frac{1}{2} \). Công thức tính tổng của một dãy số lũy thừa vô hạn với \( |q| < 1 \) là: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] Trong đó: - \( a \) là số hạng đầu tiên của dãy. - \( q \) là công bội của dãy. Áp dụng vào bài toán này: - Số hạng đầu tiên \( a = 1 \) - Công bội \( q = \frac{1}{2} \) Thay vào công thức: \[ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \] Vậy tổng của dãy số \( S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^n} + ... \) là: \[ S = 2 \] Câu 3. Để tìm mốt \(M_0\) của mẫu số liệu, chúng ta cần xác định khoảng có tần số lớn nhất trong bảng phân phối tần số. Bảng phân phối tần số: \[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Thời gian (phút)} & \text{Số học sinh} \\ \hline [0;20) & 5 \\ [20;40) & 9 \\ [40;60) & 12 \\ [60;80) & 10 \\ [80;100) & 6 \\ \hline \end{array} \] - Khoảng [0;20) có 5 học sinh. - Khoảng [20;40) có 9 học sinh. - Khoảng [40;60) có 12 học sinh. - Khoảng [60;80) có 10 học sinh. - Khoảng [80;100) có 6 học sinh. Trong các khoảng trên, khoảng có tần số lớn nhất là khoảng [40;60) với 12 học sinh. Do đó, mốt \(M_0\) của mẫu số liệu này là khoảng [40;60). Đáp số: \(M_0 = [40;60)\). Câu 4. Để tính trung vị của mẫu số liệu trên, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số lượng học sinh: Tổng số học sinh = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42 học sinh. 2. Xác định vị trí của trung vị: Vì số lượng học sinh là 42 (số chẵn), trung vị sẽ nằm ở giữa hai giá trị thứ 21 và 22 trong dãy số đã sắp xếp. 3. Xác định khoảng chứa trung vị: - Khoảng [0;20) có 5 học sinh. - Khoảng [20;40) có 9 học sinh, tổng là 5 + 9 = 14 học sinh. - Khoảng [40;60) có 12 học sinh, tổng là 14 + 12 = 26 học sinh. Như vậy, trung vị nằm trong khoảng [40;60). 4. Áp dụng công thức tính trung vị: Trung vị \( M \) trong khoảng [40;60) được tính bằng công thức: \[ M = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F_{L}}{f_{M}} \right) \times w \] Trong đó: - \( L \) là giới hạn dưới của khoảng chứa trung vị: 40. - \( n \) là tổng số lượng học sinh: 42. - \( F_{L} \) là tổng tần số của các khoảng trước khoảng chứa trung vị: 14. - \( f_{M} \) là tần số của khoảng chứa trung vị: 12. - \( w \) là độ rộng của khoảng: 20. Thay các giá trị vào công thức: \[ M = 40 + \left( \frac{\frac{42}{2} - 14}{12} \right) \times 20 \] \[ M = 40 + \left( \frac{21 - 14}{12} \right) \times 20 \] \[ M = 40 + \left( \frac{7}{12} \right) \times 20 \] \[ M = 40 + \frac{140}{12} \] \[ M = 40 + 11.67 \] \[ M \approx 51.67 \] 5. Kết luận: Trung vị của mẫu số liệu trên là 51.7 phút (làm tròn đến hàng phần mười). Đáp số: 51.7 phút. Câu 5. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Điều này có nghĩa là các đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. 1. Xác định các trọng tâm và trung điểm: - Trọng tâm của tam giác SAD là I. - Trọng tâm của tam giác SBC là J. - Trung điểm của cạnh AD là M. - Trung điểm của cạnh BC là N. 2. Tính toán các đoạn thẳng: - Vì ABCD là hình bình hành, nên M và N là trung điểm của AD và BC tương ứng, do đó MN song song với AB và CD, và MN = $\frac{1}{2}AB$ = $\frac{1}{2} \times 12 = 6$. 3. Xác định vị trí của các trọng tâm: - Trọng tâm của một tam giác chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1, tính từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. - Do đó, I nằm trên đường trung tuyến từ S đến M và J nằm trên đường trung tuyến từ S đến N. 4. Tính khoảng cách giữa hai trọng tâm: - Vì I và J đều nằm trên các đường trung tuyến từ S đến M và N, và MN = 6, ta có thể suy ra rằng khoảng cách giữa I và J sẽ là $\frac{2}{3}$ của MN (vì trọng tâm chia đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1). Do đó: \[ JI = \frac{2}{3} \times MN = \frac{2}{3} \times 6 = 4 \] Đáp số: JI = 4. Câu 6. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F', các cạnh bên như AA', BB', CC', ..., FF' đều song song và bằng nhau. Biết rằng \( A'A_1 = 6 \times AA_1 \) và \( AA' = 70 \text{ cm} \). Bước 1: Tính \( AA_1 \) \[ AA' = 70 \text{ cm} \] \[ A'A_1 = 6 \times AA_1 \] Bước 2: Xác định \( AA_1 \) \[ AA' = AA_1 + A'A_1 \] \[ 70 = AA_1 + 6 \times AA_1 \] \[ 70 = 7 \times AA_1 \] \[ AA_1 = \frac{70}{7} = 10 \text{ cm} \] Bước 3: Tính \( A'A_1 \) \[ A'A_1 = 6 \times AA_1 = 6 \times 10 = 60 \text{ cm} \] Bước 4: Xác định \( CC_1 \) Trong lăng trụ đều, tất cả các cạnh bên đều bằng nhau, do đó: \[ CC' = AA' = 70 \text{ cm} \] Vậy, \( CC_1 = 70 \text{ cm} \). Đáp số: \( CC_1 = 70 \text{ cm} \).