Bài 41: Cho phương trình x ^ 2 + 4x + 4m - m ^ 2 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thóa mần x_{1} = x_{2} ^ 2 - 6

Bài 41: Để phương trình \( x^2 + 4x + 4m - m^2 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn \( x_1 = x_2^2 - 6 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Phương trình \( x^2 + 4x + 4m - m^2 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt khi: \[ \Delta > 0 \] \[ \Delta = 4^2 - 4(4m - m^2) = 16 - 16m + 4m^2 = 4(m^2 - 4m + 4) = 4(m-2)^2 \] Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ 4(m-2)^2 > 0 \] \[ (m-2)^2 > 0 \] \[ m \neq 2 \] Bước 2: Áp dụng hệ thức Viète. Theo hệ thức Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = -4 \] \[ x_1 x_2 = 4m - m^2 \] Bước 3: Thay \( x_1 = x_2^2 - 6 \) vào hệ thức Viète. \[ x_2^2 - 6 + x_2 = -4 \] \[ x_2^2 + x_2 - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x_2 = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] \[ x_2 = 1 \text{ hoặc } x_2 = -2 \] Bước 4: Xét từng trường hợp của \( x_2 \). Trường hợp 1: \( x_2 = 1 \) \[ x_1 = 1^2 - 6 = -5 \] \[ x_1 + x_2 = -5 + 1 = -4 \] (thỏa mãn) \[ x_1 x_2 = (-5) \cdot 1 = -5 \] \[ 4m - m^2 = -5 \] \[ m^2 - 4m - 5 = 0 \] \[ (m-5)(m+1) = 0 \] \[ m = 5 \text{ hoặc } m = -1 \] Trường hợp 2: \( x_2 = -2 \) \[ x_1 = (-2)^2 - 6 = -2 \] \[ x_1 + x_2 = -2 - 2 = -4 \] (thỏa mãn) \[ x_1 x_2 = (-2) \cdot (-2) = 4 \] \[ 4m - m^2 = 4 \] \[ m^2 - 4m + 4 = 0 \] \[ (m-2)^2 = 0 \] \[ m = 2 \] (loại vì \( m \neq 2 \)) Kết luận: Các giá trị của \( m \) thỏa mãn yêu cầu của đề bài là \( m = 5 \) và \( m = -1 \). Đáp số: \( m = 5 \) hoặc \( m = -1 \).