Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 19. (2006-2007) Cho biểu thức,$A=(\frac{x-2}{6x+(x-2)^2}+\frac{(x+4)^2-12}{x^3-8}-\frac1{x-2}):\frac{x^3+2x^2+2x+4}{x^3-2x^2+2x-4}~(x
e\pm2).$,a) Rút gọn biểu thức A.,b) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên.

Question

Accepted Answer

a) Rút gọn biểu thức $ A $:

Đầu tiên, ta viết lại biểu thức $ A $:
$$ A = \left( \frac{x-2}{6x + (x-2)^2} + \frac{(x+4)^2 - 12}{x^3 - 8} - \frac{1}{x-2} \right) : \frac{x^3 + 2x^2 + 2x + 4}{x^3 - 2x^2 + 2x - 4} $$

Ta sẽ lần lượt rút gọn từng phần của biểu thức này.

Phần 1: $ \frac{x-2}{6x + (x-2)^2} $

Chúng ta thấy rằng $ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 $, do đó:
$$ 6x + (x-2)^2 = 6x + x^2 - 4x + 4 = x^2 + 2x + 4 $$
Vậy:
$$ \frac{x-2}{6x + (x-2)^2} = \frac{x-2}{x^2 + 2x + 4} $$

Phần 2: $ \frac{(x+4)^2 - 12}{x^3 - 8} $

Chúng ta thấy rằng $ (x+4)^2 = x^2 + 8x + 16 $, do đó:
$$ (x+4)^2 - 12 = x^2 + 8x + 16 - 12 = x^2 + 8x + 4 $$
Và $ x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) $
Vậy:
$$ \frac{(x+4)^2 - 12}{x^3 - 8} = \frac{x^2 + 8x + 4}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} $$

Phần 3: $ \frac{1}{x-2} $

Phần 4: $ \frac{x^3 + 2x^2 + 2x + 4}{x^3 - 2x^2 + 2x - 4} $

Chúng ta thấy rằng:
$$ x^3 + 2x^2 + 2x + 4 = (x+2)(x^2 + 2) $$
$$ x^3 - 2x^2 + 2x - 4 = (x-2)(x^2 + 2) $$
Vậy:
$$ \frac{x^3 + 2x^2 + 2x + 4}{x^3 - 2x^2 + 2x - 4} = \frac{(x+2)(x^2 + 2)}{(x-2)(x^2 + 2)} = \frac{x+2}{x-2} $$

Bây giờ, chúng ta kết hợp tất cả các phần lại:
$$ A = \left( \frac{x-2}{x^2 + 2x + 4} + \frac{x^2 + 8x + 4}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} - \frac{1}{x-2} \right) : \frac{x+2}{x-2} $$

Chúng ta thấy rằng:
$$ \frac{x-2}{x^2 + 2x + 4} + \frac{x^2 + 8x + 4}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} - \frac{1}{x-2} = \frac{(x-2)^2 + (x^2 + 8x + 4) - (x^2 + 2x + 4)}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} $$
$$ = \frac{x^2 - 4x + 4 + x^2 + 8x + 4 - x^2 - 2x - 4}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} $$
$$ = \frac{x^2 + 2x + 4}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} $$
$$ = \frac{1}{x-2} $$

Do đó:
$$ A = \frac{1}{x-2} : \frac{x+2}{x-2} = \frac{1}{x-2} \times \frac{x-2}{x+2} = \frac{1}{x+2} $$

b) Tìm $ x $ nguyên để $ A $ nhận giá trị nguyên:

Biểu thức $ A = \frac{1}{x+2} $ nhận giá trị nguyên khi $ x+2 $ là ước của 1. Các ước của 1 là $ \pm 1 $.

Do đó:
$$ x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1 $$
$$ x + 2 = -1 \Rightarrow x = -3 $$

Vậy các giá trị nguyên của $ x $ là $ x = -1 $ và $ x = -3 $.

Đáp số: $ x = -1 $ và $ x = -3 $