Trắc nghiệm toán

Câu 1: Để chuyển đổi từ độ sang radian, ta sử dụng công thức: \[ 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ radian} \] Bây giờ, ta sẽ áp dụng công thức này để chuyển đổi \(60^\circ\) sang radian. Bước 1: Áp dụng công thức: \[ 60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} \text{ radian} \] Bước 2: Tính toán: \[ 60^\circ = \frac{60\pi}{180} \text{ radian} \] \[ 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ radian} \] Vậy, \(60^\circ\) bằng \(\frac{\pi}{3}\) radian. Đáp số: \(\frac{\pi}{3}\) radian. Câu 2. Các công thức cộng trong đại số và lượng giác là những công thức quan trọng và cơ bản. Dưới đây là các công thức cộng được sử dụng phổ biến: Đại số: 1. Phép cộng hai số: \[ a + b \] 2. Phép cộng ba số: \[ a + b + c \] 3. Phép cộng các đa thức: \[ (a + b) + (c + d) = a + b + c + d \] Lượng giác: 1. Công thức cộng cho sin: \[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \] 2. Công thức cộng cho cos: \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \] 3. Công thức cộng cho tan: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \] 4. Công thức cộng cho cot: \[ \cot(a + b) = \frac{\cot a \cot b - 1}{\cot a + \cot b} \] Lập luận từng bước: - Bước 1: Xác định loại công thức cần sử dụng dựa trên yêu cầu của bài toán. - Bước 2: Thay các giá trị tương ứng vào công thức. - Bước 3: Thực hiện phép tính theo thứ tự ưu tiên của toán học (nhân chia trước, cộng trừ sau). - Bước 4: Kiểm tra kết quả cuối cùng để đảm bảo tính đúng đắn. Ví dụ cụ thể về việc sử dụng công thức cộng trong lượng giác: Ví dụ 1: Tính \(\sin(45^\circ + 30^\circ)\). 1. Áp dụng công thức cộng cho sin: \[ \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \] 2. Thay các giá trị đã biết: \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] 3. Thực hiện phép tính: \[ \sin(45^\circ + 30^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) \] \[ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \] \[ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] 4. Kết luận: \[ \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] Như vậy, các công thức cộng được áp dụng một cách chi tiết và chính xác trong từng bước của quá trình giải toán. Câu 3. Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho là hàm số chẵn, ta cần kiểm tra tính chất của hàm số chẵn: Hàm số \( f(x) \) là hàm số chẵn nếu \( f(-x) = f(x) \) với mọi \( x \) thuộc tập xác định của hàm số. A. \( y = \sin x \) Ta có: \[ \sin(-x) = -\sin x \] Do đó, \( \sin x \) là hàm số lẻ, không phải là hàm số chẵn. B. \( y = \tan x \) Ta có: \[ \tan(-x) = -\tan x \] Do đó, \( \tan x \) là hàm số lẻ, không phải là hàm số chẵn. C. \( y = \cot x \) Ta có: \[ \cot(-x) = -\cot x \] Do đó, \( \cot x \) là hàm số lẻ, không phải là hàm số chẵn. D. \( y = \cos x \) Ta có: \[ \cos(-x) = \cos x \] Do đó, \( \cos x \) là hàm số chẵn. Vậy hàm số chẵn trong các hàm số đã cho là: \[ \boxed{D. y = \cos x} \] Câu 4: Để giải phương trình $\sin x = \sin \frac{\pi}{5}$, ta áp dụng công thức lượng giác liên quan đến phương trình sin. Bước 1: Xác định dạng phương trình Phương trình $\sin x = \sin \alpha$ có dạng chuẩn và có thể giải theo công thức: \[ x = \alpha + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi - \alpha + k2\pi \] với $k$ là số nguyên. Bước 2: Áp dụng vào phương trình cụ thể Trong trường hợp này, $\alpha = \frac{\pi}{5}$. Do đó, ta có: \[ x = \frac{\pi}{5} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi - \frac{\pi}{5} + k2\pi \] Bước 3: Tính toán các giá trị cụ thể - Đối với trường hợp đầu tiên: \[ x = \frac{\pi}{5} + k2\pi \] - Đối với trường hợp thứ hai: \[ x = \pi - \frac{\pi}{5} + k2\pi = \frac{5\pi}{5} - \frac{\pi}{5} + k2\pi = \frac{4\pi}{5} + k2\pi \] Bước 4: Kết luận nghiệm Từ các bước trên, nghiệm của phương trình $\sin x = \sin \frac{\pi}{5}$ là: \[ x = \frac{\pi}{5} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{4\pi}{5} + k2\pi \] với $k$ là số nguyên. Đáp số: \[ x = \frac{\pi}{5} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{4\pi}{5} + k2\pi \] Câu 5: Để xác định dãy số nào là dãy số giảm, ta cần kiểm tra xem mỗi số hạng của dãy số có giảm dần theo chỉ số \( n \) hay không. A. \( u_n = n^2 \) Ta tính các số hạng đầu tiên: - \( u_1 = 1^2 = 1 \) - \( u_2 = 2^2 = 4 \) - \( u_3 = 3^2 = 9 \) Nhìn vào các số hạng này, ta thấy rằng \( u_n \) tăng dần khi \( n \) tăng lên. Do đó, dãy số này không phải là dãy số giảm. B. \( u_n = \frac{1}{n} - 3 \) Ta tính các số hạng đầu tiên: - \( u_1 = \frac{1}{1} - 3 = 1 - 3 = -2 \) - \( u_2 = \frac{1}{2} - 3 = 0.5 - 3 = -2.5 \) - \( u_3 = \frac{1}{3} - 3 = \frac{1}{3} - 3 = -2.67 \) Nhìn vào các số hạng này, ta thấy rằng \( u_n \) giảm dần khi \( n \) tăng lên. Do đó, dãy số này là dãy số giảm. C. \( u_n = 3n \) Ta tính các số hạng đầu tiên: - \( u_1 = 3 \times 1 = 3 \) - \( u_2 = 3 \times 2 = 6 \) - \( u_3 = 3 \times 3 = 9 \) Nhìn vào các số hạng này, ta thấy rằng \( u_n \) tăng dần khi \( n \) tăng lên. Do đó, dãy số này không phải là dãy số giảm. Kết luận: Dãy số \( u_n = \frac{1}{n} - 3 \) là dãy số giảm. Đáp án: B. \( u_n = \frac{1}{n} - 3 \). Câu 6: Một hình tứ diện là một đa giác lồi có bốn đỉnh, sáu cạnh và bốn mặt. Bước 1: Xác định số đỉnh của hình tứ diện. - Hình tứ diện có 4 đỉnh. Bước 2: Xác định số mặt của hình tứ diện. - Mỗi mặt của hình tứ diện là một tam giác. Vì vậy, hình tứ diện có 4 mặt tam giác. Bước 3: Xác định số cạnh của hình tứ diện. - Mỗi đỉnh của hình tứ diện liên kết với ba đỉnh khác bằng ba cạnh. Do đó, mỗi đỉnh tạo ra ba cạnh. Tuy nhiên, mỗi cạnh được chia sẻ bởi hai đỉnh, nên số cạnh thực tế sẽ là: \[ \frac{4 \times 3}{2} = 6 \] Vậy, một hình tứ diện có 4 mặt và 6 cạnh. Đáp số: 4 mặt và 6 cạnh. Câu 7: D. Nếu A ∈ d thì A ∈ (P) Lập luận từng bước: - Ta biết rằng đường thẳng \( d \) nằm trong mặt phẳng \( (P) \), tức là \( d \subset (P) \). - Điều này có nghĩa là mọi điểm thuộc đường thẳng \( d \) cũng sẽ thuộc mặt phẳng \( (P) \). Do đó, nếu điểm \( A \) thuộc đường thẳng \( d \) (\( A \in d \)), thì điểm \( A \) cũng sẽ thuộc mặt phẳng \( (P) \) (\( A \in (P) \)). Vậy mệnh đề đúng là: D. Nếu \( A \in d \) thì \( A \in (P) \). Câu 8. Hình hộp ke góc (HHKG) hay hình hộp đứng là một loại hình hộp chữ nhật trong đó tất cả các mặt đều là hình chữ nhật và các cạnh đáy vuông góc với các cạnh bên. Dưới đây là các tính chất thừa nhận của HHKG: 1. Tất cả các mặt của HHKG đều là hình chữ nhật: - Mỗi mặt của HHKG là hình chữ nhật, nghĩa là các góc ở mỗi đỉnh đều là góc vuông (90°). 2. Các cạnh đáy vuông góc với các cạnh bên: - Các cạnh đáy của HHKG nằm trên cùng một mặt đáy và vuông góc với các cạnh bên. Điều này có nghĩa là nếu ta vẽ một đường thẳng từ một đỉnh của mặt đáy lên đỉnh đối diện trên mặt bên, thì đường thẳng đó sẽ vuông góc với mặt đáy. 3. Diện tích toàn phần của HHKG: - Diện tích toàn phần của HHKG là tổng diện tích của tất cả các mặt. Nếu ta gọi diện tích của hai mặt đáy là \( A_1 \) và diện tích của bốn mặt bên là \( A_2 \), thì diện tích toàn phần \( S_{\text{TP}} \) sẽ là: \[ S_{\text{TP}} = 2A_1 + 4A_2 \] 4. Thể tích của HHKG: - Thể tích của HHKG được tính bằng công thức: \[ V = l \times w \times h \] trong đó \( l \) là chiều dài, \( w \) là chiều rộng và \( h \) là chiều cao của HHKG. 5. Đường chéo của HHKG: - Đường chéo của HHKG là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện của nó. Độ dài của đường chéo \( d \) có thể tính bằng công thức: \[ d = \sqrt{l^2 + w^2 + h^2} \] 6. Các đường chéo của các mặt đáy và các mặt bên: - Các đường chéo của các mặt đáy và các mặt bên cũng là các đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện của các mặt đó. Độ dài của các đường chéo này có thể tính bằng công thức Pythagoras. 7. Các đường chéo của HHKG cắt nhau tại trung điểm: - Các đường chéo của HHKG cắt nhau tại trung điểm của chúng, tức là điểm này chia đôi mỗi đường chéo thành hai đoạn bằng nhau. Như vậy, các tính chất của hình hộp ke góc đã được liệt kê và giải thích chi tiết như trên. Câu 9: Câu hỏi yêu cầu xác định mệnh đề đúng trong các lựa chọn đã cho. Chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề đúng. A. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song. - Mệnh đề này sai vì trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau. B. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. - Mệnh đề này cũng sai vì trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau. C. Trong không gian hai đường thẳng không song song, không cắt nhau thì chéo nhau. - Mệnh đề này đúng vì trong không gian, nếu hai đường thẳng không song song và không cắt nhau thì chúng chéo nhau. D. Trong không gian hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung. - Mệnh đề này đúng vì hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung. Tuy nhiên, giữa hai mệnh đề C và D, chúng ta cần xác định mệnh đề nào đúng hơn. Mệnh đề C nói về trường hợp cụ thể của hai đường thẳng không song song và không cắt nhau, còn mệnh đề D nói về điều kiện của hai đường thẳng song song. Do đó, mệnh đề đúng là: C. Trong không gian hai đường thẳng không song song, không cắt nhau thì chéo nhau. Đáp án: C. Trong không gian hai đường thẳng không song song, không cắt nhau thì chéo nhau.