Tự luận toán

Câu 1: a) Ta có: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + n + 1}{3n^2 - n + 5} \] Chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{\frac{3n^2}{n^2} - \frac{n}{n^2} + \frac{5}{n^2}} \] \[ = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{5}{n^2}} \] Khi \( n \to +\infty \), ta có \( \frac{1}{n} \to 0 \) và \( \frac{1}{n^2} \to 0 \). Do đó: \[ = \frac{1 + 0 + 0}{3 - 0 + 0} = \frac{1}{3} \] Vậy: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + n + 1}{3n^2 - n + 5} = \frac{1}{3} \] b) Ta có: \[ \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^2 - 9} \] Nhận thấy rằng \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \), do đó: \[ = \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3)(x + 3)} \] Khi \( x \neq 3 \), ta có thể rút gọn: \[ = \lim_{x \to 3} \frac{1}{x + 3} \] Thay \( x = 3 \) vào biểu thức: \[ = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6} \] Vậy: \[ \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^2 - 9} = \frac{1}{6} \] Câu 2: a) Ta có: - Mặt phẳng (SPR) chứa đỉnh S và đường thẳng PR. - Mặt phẳng (SQT) chứa đỉnh S và đường thẳng QT. - Giao điểm của PR và QT là O (giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật PQRT). Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SPR) và (SQT) là đường thẳng SO. b) Mặt phẳng () đi qua O và song song với PQ và SR. Ta xác định các giao tuyến của () với các mặt của hình chóp như sau: - Mặt phẳng () cắt mặt phẳng (SPQ) theo đường thẳng song song với PQ, đi qua O. Gọi giao tuyến này là OA. - Mặt phẳng () cắt mặt phẳng (SQR) theo đường thẳng song song với QR, đi qua O. Gọi giao tuyến này là OB. - Mặt phẳng () cắt mặt phẳng (SRT) theo đường thẳng song song với RT, đi qua O. Gọi giao tuyến này là OC. - Mặt phẳng () cắt mặt phẳng (STP) theo đường thẳng song song với TP, đi qua O. Gọi giao tuyến này là OD. Tóm lại: - Giao tuyến của () và (SPQ) là OA. - Giao tuyến của () và (SQR) là OB. - Giao tuyến của () và (SRT) là OC. - Giao tuyến của () và (STP) là OD.