Hãy giải thích định nghĩa về hàm số bậc hai và nêu rõ các đặc điểm của đồ thị hàm số bậc hai. Đưa ra ví dụ minh họa cho một hàm số bậc hai cụ thể.

Định nghĩa về hàm số bậc hai: Hàm số bậc hai là hàm số có dạng \( f(x) = ax^2 + bx + c \), trong đó \( a, b, c \) là các hằng số thực và \( a \neq 0 \). Các đặc điểm của đồ thị hàm số bậc hai: 1. Đồ thị: Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol. 2. Đỉnh parabol: Đỉnh của parabol có tọa độ \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \). 3. Đường đối xứng: Đường thẳng đi qua đỉnh parabol và vuông góc với trục hoành, có phương trình \( x = -\frac{b}{2a} \). 4. Phương hướng của parabol: - Nếu \( a > 0 \), parabol mở rộng lên trên. - Nếu \( a < 0 \), parabol mở rộng xuống dưới. 5. Giao điểm với trục hoành: Số giao điểm của parabol với trục hoành phụ thuộc vào dấu của \( \Delta = b^2 - 4ac \): - Nếu \( \Delta > 0 \), parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. - Nếu \( \Delta = 0 \), parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất. - Nếu \( \Delta < 0 \), parabol không cắt trục hoành. Ví dụ minh họa: Xét hàm số \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \). - Đỉnh parabol: \[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1 \] \[ y = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \] Vậy đỉnh parabol là \( (1, -1) \). - Đường đối xứng: \( x = 1 \). - Phương hướng của parabol: Vì \( a = 2 > 0 \), parabol mở rộng lên trên. - Giao điểm với trục hoành: \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8 > 0 \] Parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Kết luận: Hàm số \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \) là một hàm số bậc hai với đỉnh parabol ở \( (1, -1) \), đường đối xứng là \( x = 1 \), parabol mở rộng lên trên và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.