Giải hộ vs

Câu 1. a) Phương trình đã cho tương đương với $\cos x=\cos\frac{\pi}{3}$ Phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ tương đương với $\cos x = \cos \frac{\pi}{3}$ vì $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Do đó, phát biểu này đúng. b) Tập nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ Phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ có tập nghiệm là $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$. Phát biểu này sai vì nó chỉ đưa ra nửa tập nghiệm. c) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $\frac{7\pi}{3}$ Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ là $x = \frac{\pi}{3}$. Phát biểu này sai. d) Tổng các nghiệm của phương trình thuộc khoảng $(0; \frac{5\pi}{2})$ là $\frac{13\pi}{3}$ Các nghiệm của phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ trong khoảng $(0; \frac{5\pi}{2})$ là $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$. Tổng các nghiệm là $\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$. Phát biểu này sai. Kết luận: - a) Đúng - b) Sai - c) Sai - d) Sai Câu 2. a) Ta có M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD, do đó MN là đường trung bình của tam giác SAD. Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, ta có: \[ MN \parallel AD \] b) Vì MN \parallel AD và AD nằm trong mặt phẳng (ABCD), nên MN cũng song song với mặt phẳng (ABCD). c) Ta có E là trung điểm của AB, do đó OE là đường trung bình của tam giác AOB. Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, ta có: \[ OE \parallel OB \] Mặt khác, OB nằm trong mặt phẳng (SBC), nên OE cũng nằm trong mặt phẳng (SBC). Do đó, OE sẽ cắt mặt phẳng (SBC). d) Ta có I và J lần lượt là trung điểm của BC và AD, do đó IJ là đường trung bình của hình bình hành ABCD. Theo tính chất của đường trung bình trong hình bình hành, ta có: \[ IJ \parallel AB \] G là một điểm thuộc đoạn IJ, do đó G cũng nằm trên đường thẳng IJ. Vì IJ \parallel AB và AB nằm trong mặt phẳng (SAB), nên IJ cũng song song với mặt phẳng (SAB). Do đó, GN cũng song song với mặt phẳng (SAB). Đáp án: a) \( MN \parallel AD \) b) \( MN \parallel (ABCD) \) c) OE sẽ cắt mặt phẳng (SBC) d) \( GN \parallel (SAB) \) Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp một để xác định xem các mặt phẳng có song song với nhau hay không. a) \( BB' // (ACC'A') \) - \( BB' \) là đường thẳng đi qua hai đỉnh \( B \) và \( B' \) của lăng trụ. - Mặt phẳng \( (ACC'A') \) bao gồm các đỉnh \( A, C, C', A' \). Do \( BB' \) nằm trong mặt phẳng \( (ABB'A') \) và không cắt giao với \( (ACC'A') \), nên \( BB' // (ACC'A') \). b) \( (ABC) // (A'B'C') \) - \( (ABC) \) là mặt đáy của lăng trụ. - \( (A'B'C') \) là mặt đáy đối diện của lăng trụ. Trong lăng trụ tam giác đều, hai mặt đáy luôn song song với nhau. Do đó, \( (ABC) // (A'B'C') \). c) \( (A'B'C') // (IMG) \) - \( (A'B'C') \) là mặt đáy đối diện của lăng trụ. - \( I \) là trọng tâm của \( (ABC) \), \( K \) là trọng tâm của \( (A'B'C') \), \( G \) là trọng tâm của \( (ACC'A') \), và \( M \) là trung điểm của \( AC \). Trọng tâm của tam giác \( (ABC) \) và \( (A'B'C') \) tạo thành đường thẳng song song với \( BB' \). Mặt phẳng \( (IMG) \) bao gồm các điểm \( I, M, G \), trong đó \( M \) là trung điểm của \( AC \) và \( G \) là trọng tâm của \( (ACC'A') \). Vì \( (A'B'C') \) song song với \( (ABC) \), và \( IMG \) nằm trong mặt phẳng song song với \( (ABC) \), nên \( (A'B'C') // (IMG) \). d) \( (IKG) // (BCC'B') \) - \( (IKG) \) bao gồm các điểm \( I, K, G \), trong đó \( I \) là trọng tâm của \( (ABC) \), \( K \) là trọng tâm của \( (A'B'C') \), và \( G \) là trọng tâm của \( (ACC'A') \). - \( (BCC'B') \) là mặt bên của lăng trụ. Mặt phẳng \( (IKG) \) bao gồm các trọng tâm của các tam giác \( (ABC) \), \( (A'B'C') \), và \( (ACC'A') \). Trọng tâm của tam giác \( (ABC) \) và \( (A'B'C') \) tạo thành đường thẳng song song với \( BB' \). Mặt phẳng \( (BCC'B') \) bao gồm các đỉnh \( B, C, C', B' \). Vì \( (IKG) \) không song song với \( (BCC'B') \), do đó \( (IKG) \) không song song với \( (BCC'B') \). Kết luận: - \( BB' // (ACC'A') \) - \( (ABC) // (A'B'C') \) - \( (A'B'C') // (IMG) \) - \( (IKG) \) không song song với \( (BCC'B') \) Đáp án: a) \( BB' // (ACC'A') \) b) \( (ABC) // (A'B'C') \) c) \( (A'B'C') // (IMG) \) d) \( (IKG) \) không song song với \( (BCC'B') \) Câu 4. a) Ta có: \[ \lim_{x \to 5} g(x) = \lim_{x \to 5} (x - 3) = 5 - 3 = 2 \] b) Ta có: \[ \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (x^2 - 4x + 3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0 \] c) Ta có: \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (x^2 - 4x + 3) \] Khi \( x \to -\infty \), \( x^2 \) sẽ tăng lên rất lớn và vượt trội hơn các hạng tử còn lại. Do đó: \[ \lim_{x \to -\infty} (x^2 - 4x + 3) = +\infty \] d) Ta có: \[ \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 3} \] Ta nhận thấy rằng \( x^2 - 4x + 3 \) có thể phân tích thành: \[ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 3} \frac{(x - 1)(x - 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x - 1) = 3 - 1 = 2 \] Đáp số: a) 2 b) 0 c) \(+\infty\) d) 2