Giúp tôi với Câu 3: Sự tăng trưởng dân số được xác định bởi hàm số $p(t)=\frac{800}{1+7e^{-0,2t}}.$ Tốc độ tăng trưởng dân,số tức thời tại thời điểm t là $p^\prime(t).$ Tính thời điểm t để tốc độ tăng trưởng là lớn nhất. (kết,quả làm tròn đến hàng đơn vị),Câu 4: Một doanh nghiệp cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A,và B . Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là $x^3+2x$ (triệu đồng), máy B làm,việc trong y ngày và cho số tiền lãi là $326y-27y^3$ (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp đó cần sử,dụng máy A trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy A và,B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày).,Câu 5: Một công ty sản xuất đồ chơi muốn tối ưu hóa lợi nhuận từ việc sản xuất một loại búp bê. Họ,nhận thấy rằng, với mỗi đơn vị sản xuất, chi phí cố định là 500.000 đồng, chi phí biến đổi là,100.000 đồng. Mặt khác, nếu sản xuất x đơn vị búp bê thì giá bán mỗi đơn vị là,$P(x)=600.000-10.000x$ đồng. Hỏi công ty nên sản xuất bao nhiêu đơn vị búp bê để đạt,lợi nhuận tối đa?.,Câu 6: Anh Nam dự định xây một sân trước nhà hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh lần lượt,là $AB=12~m$ và $AD=5~m.$ Để thoát nước tốt nhất trong mùa mưa hoặc khi rửa sân nên,anh Nam xây vị trí B thấp hơn vị trí A là 10 cm , vi trí D thấp hơn vị trí A là 8 cm . Chọn hê,trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, hãy xác định vị trí điểm C thấp hơn vị trí điểm A bao nhiêu,cm ?,----- HẾT -----,Mã đề 378

Question

Accepted Answer

Câu 3:
Để tìm thời điểm $ t $ sao cho tốc độ tăng trưởng tức thời của dân số là lớn nhất, ta cần tính đạo hàm của hàm số $ p(t) $ và tìm giá trị của $ t $ làm cho đạo hàm này đạt cực đại.

Bước 1: Tính đạo hàm của $ p(t) $.

$$ p(t) = \frac{800}{1 + 7e^{-0.2t}} $$

Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:

$$ p'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{800}{1 + 7e^{-0.2t}} \right) $$

$$ p'(t) = 800 \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{1 + 7e^{-0.2t}} \right) $$

$$ p'(t) = 800 \cdot \left( -\frac{1}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} \cdot \frac{d}{dt}(1 + 7e^{-0.2t}) \right) $$

$$ p'(t) = 800 \cdot \left( -\frac{1}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} \cdot (-0.2 \cdot 7e^{-0.2t}) \right) $$

$$ p'(t) = 800 \cdot \frac{1.4e^{-0.2t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} $$

$$ p'(t) = \frac{1120e^{-0.2t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} $$

Bước 2: Tìm giá trị của $ t $ làm cho $ p'(t) $ đạt cực đại.

Để tìm cực đại của $ p'(t) $, ta cần tính đạo hàm của $ p'(t) $ và tìm điểm mà đạo hàm này bằng 0.

$$ p''(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1120e^{-0.2t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} \right) $$

Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:

$$ p''(t) = 1120 \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{e^{-0.2t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^2} \right) $$

$$ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{(1 + 7e^{-0.2t})^2 \cdot \frac{d}{dt}(e^{-0.2t}) - e^{-0.2t} \cdot \frac{d}{dt}((1 + 7e^{-0.2t})^2)}{(1 + 7e^{-0.2t})^4} \right) $$

$$ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{(1 + 7e^{-0.2t})^2 \cdot (-0.2e^{-0.2t}) - e^{-0.2t} \cdot 2(1 + 7e^{-0.2t}) \cdot (-0.2 \cdot 7e^{-0.2t})}{(1 + 7e^{-0.2t})^4} \right) $$

$$ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{-0.2e^{-0.2t}(1 + 7e^{-0.2t})^2 + 2.8e^{-0.4t}(1 + 7e^{-0.2t})}{(1 + 7e^{-0.2t})^4} \right) $$

$$ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{-0.2e^{-0.2t}(1 + 7e^{-0.2t}) + 2.8e^{-0.4t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^3} \right) $$

$$ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{-0.2e^{-0.2t} - 1.4e^{-0.4t} + 2.8e^{-0.4t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^3} \right) $$

$$ p''(t) = 1120 \cdot \left( \frac{-0.2e^{-0.2t} + 1.4e^{-0.4t}}{(1 + 7e^{-0.2t})^3} \right) $$

Đặt $ p''(t) = 0 $:

$$ -0.2e^{-0.2t} + 1.4e^{-0.4t} = 0 $$

$$ 1.4e^{-0.4t} = 0.2e^{-0.2t} $$

$$ 7e^{-0.4t} = e^{-0.2t} $$

$$ 7 = e^{0.2t} $$

$$ \ln(7) = 0.2t $$

$$ t = \frac{\ln(7)}{0.2} \approx 10 $$

Vậy thời điểm $ t $ để tốc độ tăng trưởng tức thời của dân số là lớn nhất là $ t \approx 10 $.

Câu 4:
Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của $ x $ sao cho tổng số tiền lãi từ cả hai máy A và B là lớn nhất. Ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện: 
   - $ x + y = 10 $
   - $ 0 \leq y \leq 6 $

2. Biểu diễn số tiền lãi tổng cộng:
   Số tiền lãi từ máy A là $ f(x) = x^3 + 2x $ triệu đồng.
   Số tiền lãi từ máy B là $ g(y) = 326y - 27y^3 $ triệu đồng.
   
   Tổng số tiền lãi là:
   $$
   T(x) = f(x) + g(10 - x) = x^3 + 2x + 326(10 - x) - 27(10 - x)^3
   $$

3. Tính đạo hàm của $ T(x) $:
   $$
   T'(x) = \frac{d}{dx} \left[ x^3 + 2x + 326(10 - x) - 27(10 - x)^3 \right]
   $$
   $$
   T'(x) = 3x^2 + 2 - 326 + 81(10 - x)^2
   $$
   $$
   T'(x) = 3x^2 + 2 - 326 + 81(100 - 20x + x^2)
   $$
   $$
   T'(x) = 3x^2 + 2 - 326 + 8100 - 1620x + 81x^2
   $$
   $$
   T'(x) = 84x^2 - 1620x + 7776
   $$

4. Tìm điểm cực đại của $ T(x) $:
   Đặt $ T'(x) = 0 $:
   $$
   84x^2 - 1620x + 7776 = 0
   $$
   Chia cả phương trình cho 12:
   $$
   7x^2 - 135x + 648 = 0
   $$
   Giải phương trình bậc hai:
   $$
   x = \frac{135 \pm \sqrt{135^2 - 4 \cdot 7 \cdot 648}}{2 \cdot 7}
   $$
   $$
   x = \frac{135 \pm \sqrt{18225 - 17952}}{14}
   $$
   $$
   x = \frac{135 \pm \sqrt{273}}{14}
   $$
   $$
   x = \frac{135 \pm 16.52}{14}
   $$
   $$
   x_1 = \frac{151.52}{14} \approx 10.82 \quad (\text{loại vì } x \leq 10)
   $$
   $$
   x_2 = \frac{118.48}{14} \approx 8.46
   $$

5. Kiểm tra điều kiện $ y \leq 6 $:
   Nếu $ x = 8.46 $, thì $ y = 10 - 8.46 = 1.54 $ (thỏa mãn điều kiện).

6. Kết luận:
   Để số tiền lãi là nhiều nhất, doanh nghiệp nên sử dụng máy A trong khoảng 8.46 ngày.

Do đó, doanh nghiệp cần sử dụng máy A trong khoảng 8.46 ngày để số tiền lãi là nhiều nhất.

Câu 5:
Để tối ưu hóa lợi nhuận từ việc sản xuất búp bê, chúng ta cần xác định số lượng búp bê cần sản xuất sao cho lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

Bước 1: Xác định các thành phần chi phí và doanh thu.

Chi phí cố định (CFF) là 500.000 đồng.
Chi phí biến đổi (CVF) là 100.000 đồng mỗi đơn vị sản xuất.
Giá bán mỗi đơn vị sản xuất x búp bê là $ P(x) = 600.000 - 10.000x $.

Bước 2: Xác định tổng chi phí (TC) và tổng doanh thu (TD).

Tổng chi phí:
$$ TC = CFF + CVF \times x = 500.000 + 100.000x $$

Tổng doanh thu:
$$ TD = P(x) \times x = (600.000 - 10.000x) \times x = 600.000x - 10.000x^2 $$

Bước 3: Xác định lợi nhuận (L).

Lợi nhuận là sự chênh lệch giữa tổng doanh thu và tổng chi phí:
$$ L = TD - TC = (600.000x - 10.000x^2) - (500.000 + 100.000x) $$
$$ L = 600.000x - 10.000x^2 - 500.000 - 100.000x $$
$$ L = -10.000x^2 + 500.000x - 500.000 $$

Bước 4: Tìm giá trị của x để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

Để tìm giá trị của x làm cho lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất, chúng ta sử dụng đạo hàm của hàm lợi nhuận:
$$ L'(x) = \frac{d}{dx}(-10.000x^2 + 500.000x - 500.000) $$
$$ L'(x) = -20.000x + 500.000 $$

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực đại:
$$ -20.000x + 500.000 = 0 $$
$$ 20.000x = 500.000 $$
$$ x = \frac{500.000}{20.000} $$
$$ x = 25 $$

Bước 5: Kiểm tra tính chất của điểm cực đại.

Đạo hàm thứ hai của hàm lợi nhuận:
$$ L''(x) = \frac{d}{dx}(-20.000x + 500.000) $$
$$ L''(x) = -20.000 $$

Vì $ L''(x) < 0 $, điểm $ x = 25 $ là điểm cực đại của hàm lợi nhuận.

Kết luận: Công ty nên sản xuất 25 đơn vị búp bê để đạt lợi nhuận tối đa.

Câu 6:
Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm A, B, D trong hệ tọa độ Oxyz.

- Điểm A có tọa độ (0, 0, 0).
- Điểm B nằm trên trục Ox, cách điểm A 12 m và thấp hơn điểm A 10 cm, do đó tọa độ của B là (12, 0, -0.1).
- Điểm D nằm trên trục Oy, cách điểm A 5 m và thấp hơn điểm A 8 cm, do đó tọa độ của D là (0, 5, -0.08).

Bây giờ, ta xác định tọa độ của điểm C. Điểm C nằm ở giao điểm của đường thẳng đi qua B và song song với AD, và đường thẳng đi qua D và song song với AB. Do đó, tọa độ của C sẽ là (12, 5, z).

Ta cần tìm giá trị của z để xác định vị trí của điểm C. Ta biết rằng đoạn thẳng AC có cùng độ dốc với đoạn thẳng BD. Ta tính độ dốc của đoạn thẳng BD:

$$
\text{Độ dốc của BD} = \frac{-0.1 - (-0.08)}{12 - 0} = \frac{-0.02}{12} = -\frac{1}{600}
$$

Do đó, độ dốc của đoạn thẳng AC cũng là $-\frac{1}{600}$. Ta có:

$$
\frac{z - 0}{12 - 0} = -\frac{1}{600}
$$

Giải phương trình này:

$$
\frac{z}{12} = -\frac{1}{600}
$$

$$
z = -\frac{12}{600} = -\frac{1}{50} = -0.02
$$

Vậy tọa độ của điểm C là (12, 5, -0.02). Điều này có nghĩa là điểm C thấp hơn điểm A 2 cm.

Đáp số: Điểm C thấp hơn điểm A 2 cm.